갈고리 길이 공식 (hook length formula)

개요

• 주어진 자연수 \(n\)의 분할 \(\lambda\) 또는 영 다이어그램에 대한 표준 영 태블로의 개수를 세는 공식
• 영 다이어그램에 대응되는 대칭군 (symmetric group) \(S_n\)의 기약 표현 \(V_{\lambda}\)의 차원은 표준 영 태블로의 개수와 같으므로, 차원에 대한 공식으로 볼 수도 있다

\[ \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod\text{(hook lengths)}} \]

갈고리

• 영 다이어그램의 각 상자에 다음과 같이 번호를 붙이자. 다음은 \(\lambda=(4,2,1)\)에 대한 예.

\[ \begin{array}{cccc} \boxed{1,1} & \boxed{1,2} & \boxed{1,3} & \boxed{1,4} \\ \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ \boxed{3,1} & {} & {} & {} \\ \end{array} \]

• 영 다이어그램의 주어진 \(\boxed{i,j}\)에 대응되는 갈고리는 \(\boxed{i,j}\) 및, 그 오른쪽과 아래쪽에 있는 \(\square\)들로 이루어진 집합이며, 이 집합의 크기를 갈고리의 길이라 한다.
• 가령 \(\boxed{1,2}\)에 대한 갈고리는 다음과 같다

\[ \begin{array}{ccc} \boxed{1,2} & \boxed{1,3} & \boxed{1,4} \\ \boxed{2,2} & {} & {} \end{array} \]

• \(\boxed{2,1}\)에 대한 갈고리는 다음과 같다

\[ \begin{array}{cc} \boxed{2,1} & \boxed{2,2} & {} & {} \\ \boxed{3,1} & {} & {} & {} \\ \end{array} \]

• \(\boxed{i,j}\)의 갈고리의 길이를 \(h_{i,j}\)라 두자
• \(\lambda:\lambda_1\geq \cdots \geq \lambda_k> 0\)를 \(n\)의 분할이라 하고, \(\mu:\mu_1 \geq \cdots \geq \mu_l> 0\)를 \(\lambda\)의 켤레 분할 (conjugate partition)이라 두자
• 갈고리의 길이는 다음과 같이 표현할 수 있다

\[ h_{i,j}=\lambda_i+\mu_j-i-j+1 \]

정리

\[ \dim V_{\lambda}=\frac{n!}{\prod_{(i,j)} h_{i,j}} \]

예

• 7의 분할 \(\lambda=(4,2,1)\)에 대한 영 다이어그램

\[ \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \text{} & \text{} \\ \square & \text{} & \text{} & \text{} \end{array} \]

• 켤레 분할은 \(\mu=(3, 2, 1, 1)\)로 주어진다

\[ \begin{array}{ccc} \square & \square & \square \\ \square & \square & {} \\ \square & {} & {} \\ \square & {} & {} \\ \end{array} \]

• 영 다이어그램 \(\lambda\)의 각 \(\square\)에 대한 갈고리의 길이는 다음과 같이 주어진다

\[ \begin{array}{cccc} \boxed{6} & \boxed{4} & \boxed{2} & \boxed{1} \\ \boxed{3} & \boxed{1} & {} & {} \\ \boxed{1} & {} & {} & {} \\ \end{array} \]

• 표준 영 태블로의 개수는 다음과 같다

\[\frac{7!}{6\times 4\times 2\times 1\times 3\times 1\times 1}=35\]

메모

• http://www-irma.u-strasbg.fr/~guoniu/papers/p57hehookexpa.pdf

관련된 항목들

• 영 태블로(Young tableau)
• 대칭군의 표현론

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQlA0ZDJ6TGhZTXc/edit
• Pemmaraju, Sriram V., and Steven S. Skiena. 2003. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press.
  • page 169

수학용어번역

• hook
  • http://translate.google.com/#en/ko/hook

리뷰, 에세이, 강의노트

• Han, Hook length formulas for integer partitions and planar trees
• The Hook-Length Formula by Amritanshu Prasad. 2012. http://www.youtube.com/watch?v=aT4NmQ3JAjE&feature=youtube_gdata_player.
  • 비디오 강의

관련논문

• http://arxiv.org/abs/1512.08348