"갈루아 이론 입문 5차방정식의 근의 공식은 왜 없을까"의 두 판 사이의 차이

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방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math> 을 어떻게 풀 수 있을까?
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그간 너무 뻑뻑하고 진지한 글만 올린것 같아 오랜만에 즐거운 수학연재를 해볼까 한다. 마침 10월 25일이 갈루아의 생일이라기에, 갈루아이론에 대해 얘기해볼까 한다.
  
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이 방정식은 다음과 같이 풀수 있다.
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오래전에 군론입문을 쓴적이 있다.
  
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양변을 <math>z^2</math>으로 나누면, <math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0</math> 을 얻게 된다.
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/08/16/714 군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문]
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/08/18/715 군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 (2): 결합법칙]
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/08/19/716 군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 (3):대칭의 언어]
  
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<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있다.
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군론이란 바로 대칭의 언어임을 언급하면서 마무리되었다. 이 대칭의언어, 군론의 이야기는 바로 방정식을 푸는 문제에서부터 시작되었다.
  
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<math>z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0</math>
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2차방정식 <math>ax^2+bx+c=0</math>의 근의 공식은
  
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<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> 이다. 중학교에서 가르쳐준다.
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방정식을 풀면,
 
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<math>y^2+y-1=0</math>
 
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<math>y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}</math>
 
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<math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하였으므로,  <math>z^2-yz+1=0</math>가 만족된다.
 
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따라서 <math>z=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}</math>
 
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그러므로 네 개의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.
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3차 방정식의 근의 공식은 안 배웠을 것이다.  http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function 에 따르자면, 방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 근의 공식은
  
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<math>\alpha_1=\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}+i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)</math>
 
  
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<math>\frac{1}{4} \left(-1+\sqrt{5}-i \sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)</math>
 
  
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<math>\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)</math>
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왜 안 배웠는지도 알 수 있고, 안 배우길 잘 했다는 생각도 들 것이다. 4차방정식에 대해서는 쓰진 않겠다.
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<math>\frac{1}{4} \left(-1-\sqrt{5}-i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)</math>
 
  
 
 
 
 
  
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* [[갈루아 이론]]
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중요한 것은 2,3,4차 방정식에 대해서는 이렇게 '''근의 공식이 있다!'''는 것이다.
  
 
 
 
 
  
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근의 공식이란 위에서처럼 방정식의 해를 계수의 사칙연산과 근호를 통하여 표현하는 것을 말한다.
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이 과정을 거의 같지만 약간만 다르게 다시 써보자.
 
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복소수의 지식에 의하면 <math>\zeta=e^{2\pi i \over 5}=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}</math> 는 처음에 주어진 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>의 해이다. 그리고 이 방정식의 네 해는 <math>\zeta,\zeta^2,\zeta^3, \zeta^4</math>로 주어짐을 안다.
 
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이 방정식을 풀 때, 가장 중요한 아이디어는 <math>y=z+\frac{1}{z}</math> 로 치환하는 과정이었다.
 
  
 
 
 
 
  
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이 치환을 통하면 우리는 <math>y_1=\zeta+\zeta^4</math> 를 새로운 하나의 수로 생각하고, <math>y_2=\zeta^2+\zeta^3</math>를 또 다른 하나의 수로 생각하는 셈이다.
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그러면 5차방정식 <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math> 의 근의 공식은 무엇일까? 6차방정식은? 7차 방정식은?
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그러면 <math>y_1+y_2=\zeta^1+\zeta^4+\zeta^2+\zeta^3</math>이므로 근과 계수와의 관계를 적용한다면, <math>y_1+y_2=-1</math> 를 얻는다.
 
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그리고 <math>\zeta^5=1</math> 을 사용하면, <math>y_1y_2=(\zeta^1+\zeta^4)(\zeta^2+\zeta^3)=\zeta^3+\zeta^4+\zeta^6+\zeta^7=\zeta^3+\zeta^4+\zeta^1+\zeta^2=-1</math> 를 얻게 된다.
 
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그러면 <math>y_1</math>과 <math>y_2</math>는 방정식 <math>y^2+y-1=0</math>의 해임을 알 수 있게 되는 것이다.
 
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이렇게 해들을 가지고 지혜롭게 잘 섞어서 새로운 수 <math>y_1=\zeta+\zeta^4</math>, <math>y_2=\zeta^2+\zeta^3</math> 를 만들면, 때때로 4차 방정식의 근들의 결합이 만족시키는 2차 방정식을 얻게 되고, 4차방정식을 2차방정식 두 번 푸는 문제로 바꿀 수 있게 된다.
 
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한가지 흥미로운 사실을 지적하자면, 1과 4는 <math>\{1,2,3,4\}</math> 로 구성된 [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]] 의 세계에서 제곱이고, 2와 3은 제곱이 아니라는 것이다.
 
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<math>1^2=1\pmod 5</math>
 
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<math>2^2=4 \pmod 5</math>
 
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<math>3^2=9=4 \pmod 5</math>
 
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<math>4^2=16=1 \pmod 5</math>
 
  
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이 사실은 [[가우스와 순환소수]]와 함께 생각하면, 그의 수학이 어디에서 잉태되고 있었는지를 가늠케 해주는 것들인데, 이것은 다시 훗날의 이야기거리로 남겨두자.
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그러한 것은 없다. 위에 있는 2,3차 방정식처럼  <math>a,b,c,d,e,f</math>와 <math>\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots</math> 를 사용하여 표현할 수 있는 공식이 없다는 말이다.
  
 
 
 
 
  
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외계인이 있을까? 그런 것이 누군가의 눈에 띄는 순간 그것은 있는 것이다. 그런데 이제까지 발견이 되지 않았다고 없다고 말할 수 있는 것은 아니다.  무언가가 없다고 확실하게 말하는 것은 그 난이도에서 차원이 다른 문제다. 있다는 것을 증명하는 것은 찾아서 보여주면 되지만, 없다는 것을 보이기 위해서는 뭔가 또다른 이야기가 필요한 것이다.
  
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아무튼 위에서의 생각을 좀더 확장시키면, 가우스가 정17각형이 작도가능함을 보였던 방법을 이해할 수 있게 된다.
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바로 이 또다른 이야기. 군론 즉, 방정식이 가지고 있는 대칭성이 5차이상의 방정식에 대하여 근의 공식이 있을수없다는 것을 말해줄 것이다.
  
 
 
 
 
  
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16차방정식 <math>z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0</math> 에 대하여 생각해 보자. 그러나 이제부터 자세한 설명은 생략한다!
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20세기에 들어와 현대입자물리학의 핵심개념이 된 대칭의 언어는 바로 이 방정식의 근의 공식을 찾아가는 모험에서 탄생하였다.
  
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<math>\zeta=e^{2\pi i \over 17}=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}</math>  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표이다.
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다음 이야기에서는 방정식과 대칭성의 연결고리를 찾아본다.
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* <math>(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}</math>
 
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*  이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류<br>
 
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** <math>A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}</math>
 
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** <math>A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}</math>
 
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** <math>A_0+A_1= -1</math>, <math>A_{0}A_{1} = -4</math>, <math>A_0>A_1</math>
 
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** <math>A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}</math> , <math>A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}</math>
 
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*  이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류<br>
 
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** <math>B_0 = \zeta^{13}+  \zeta^{16}+ \zeta^4 +  \zeta^1 </math>
 
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** <math>B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}</math>
 
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** <math>B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2</math>
 
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** <math>B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}</math>
 
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** <math>B_0+B_2=A_0</math>, <math>B_0B_2= -1</math>, <math>B_0>0</math>
 
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** <math>B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}</math>, <math>B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}</math>
 
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** <math>B_1+B_3=A_1</math>, <math>B_1B_3= -1</math>, <math>B_{1}> 0</math>
 
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** <math>B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}</math>, <math>B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}</math>
 
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*  이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류<br>
 
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** <math>C_0= \zeta^{16}+  \zeta^1</math>, <math>C_4= \zeta^{13} +\zeta^4</math>, <math>C_0 > C_1</math>
 
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** <math>C_0+C_4=B_0</math>, <math>C_0C_4=B_1</math>
 
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** <math>C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+  \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}</math>
 
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** <math>C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}</math>
 
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*  이제 마무리<br>
 
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** <math>\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}</math>
 
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** <math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+  \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math>
 
  
 
 
 
 
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그러므로 정17각형은 작도가능하다!!
 
  
 
 
 
 
  
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요약 : 어떤 방정식을 잘 풀 수 없는지 알기 전에, 풀 수 있는건 도대체 무엇이 있나 탐색하는 시간이었다. 그 예로, 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>과 <math>z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0</math>의 해를 어떻게 제곱근기호를 사용하여, 구체적으로 써 내려갈 수 있는지 살펴보았다. 그러기 위해서 우리는 방정식의 여러 해들을 지혜롭게(!) 결합시켜 얻은 새로운 수들이 만족시키는 새로운 방정식을 찾았다. 그러면 방정식의 차수는 낮아지고, 이 과정을 반복하면 방정식을 풀 수 있는 희망이 싹틀때도 있다.
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"> </h5>
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그런데 도대체 우리는 왜 이 방정식들을 이렇게 잘 풀 수 있었을까? 이야기는 계속된다.
 

2010년 2월 18일 (목) 17:00 판

그간 너무 뻑뻑하고 진지한 글만 올린것 같아 오랜만에 즐거운 수학연재를 해볼까 한다. 마침 10월 25일이 갈루아의 생일이라기에, 갈루아이론에 대해 얘기해볼까 한다.

오래전에 군론입문을 쓴적이 있다.

군론이란 바로 대칭의 언어임을 언급하면서 마무리되었다. 이 대칭의언어, 군론의 이야기는 바로 방정식을 푸는 문제에서부터 시작되었다.

2차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 근의 공식은

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 이다. 중학교에서 가르쳐준다.

3차 방정식의 근의 공식은 안 배웠을 것이다.  http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function 에 따르자면, 방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)의 근의 공식은


왜 안 배웠는지도 알 수 있고, 안 배우길 잘 했다는 생각도 들 것이다. 4차방정식에 대해서는 쓰진 않겠다.

 

중요한 것은 2,3,4차 방정식에 대해서는 이렇게 근의 공식이 있다!는 것이다.

 

근의 공식이란 위에서처럼 방정식의 해를 계수의 사칙연산과 근호를 통하여 표현하는 것을 말한다.

 

그러면 5차방정식 \(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\) 의 근의 공식은 무엇일까? 6차방정식은? 7차 방정식은?

그러한 것은 없다. 위에 있는 2,3차 방정식처럼  \(a,b,c,d,e,f\)와 \(\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots\) 를 사용하여 표현할 수 있는 공식이 없다는 말이다.

 

외계인이 있을까? 그런 것이 누군가의 눈에 띄는 순간 그것은 있는 것이다. 그런데 이제까지 발견이 되지 않았다고 없다고 말할 수 있는 것은 아니다.  무언가가 없다고 확실하게 말하는 것은 그 난이도에서 차원이 다른 문제다. 있다는 것을 증명하는 것은 찾아서 보여주면 되지만, 없다는 것을 보이기 위해서는 뭔가 또다른 이야기가 필요한 것이다.

바로 이 또다른 이야기. 군론 즉, 방정식이 가지고 있는 대칭성이 5차이상의 방정식에 대하여 근의 공식이 있을수없다는 것을 말해줄 것이다.

 

20세기에 들어와 현대입자물리학의 핵심개념이 된 대칭의 언어는 바로 이 방정식의 근의 공식을 찾아가는 모험에서 탄생하였다.

다음 이야기에서는 방정식과 대칭성의 연결고리를 찾아본다.

 

 

 
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