거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙
개요
- 대수적 수론의 주요 정리
- 이차잉여의 상호법칙, 3차 상호법칙을 포괄하는 상호법칙
거듭제곱 잉여 부호
- 힐베르트 부호의 특별한 경우로 이해할 수 있다
기호
- \(n\geq 2\) : 자연수
- \(K\) \[n\]의 단위근 \(\zeta_n\)이 속해 있는 수체
- \(\mathcal{O}_K\) \[K\]의 정수환, \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
- \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \) \[n \not \in \mathfrak{p}\]을 만족하는 prime 아이디얼
- \(\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|\)
- \(\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}\)은 유한체 (finite field)이므로, 소수 \(p\)와 적당한 \(f\in \mathbb{Z}\)에 대하여, \(\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f\)
- \(\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}\)으로 생성되는 부분군의 크기는 \(\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1\)을 나눈다
- 따라서 \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
- (페르마의 소정리) \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)에 대하여 다음이 성립한다
\[ \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. \]
- 다음을 만족하는 유일한 \(s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\)가 존재한다
\[ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} \]
정의
- 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 \(\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle\)을 다음과 같이 정의
\[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s \] 여기서 \(\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}\)
- \(n\)과 서로 소인 아이디얼 \(\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}\)에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
\[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} \]
상호법칙
- 정리
\(\alpha,\beta\in K^{\times}\)가 서로 소이고, \(n\)과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다 \[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n\] 여기서 \(\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n\)는 힐베르트 부호, \(\infty\)는 \(K\)의 real infinite prime들의 곱 (\(n=2\)인 경우에만 등장)