고전역학에서의 적분가능 모형

적분가능 모형

• 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
• 자유도가 N으로 주어진 계
• 해밀토니안 \(H(q,p)\)
• 위치 변수 \(q=(q_ 1,\cdots,q_N)\)
• 운동량 변수 \(p=(p_ 1,\cdots,p_N)\)
• 운동방정식

\[ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{q}_i&=\frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot{p}_i&=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{aligned} \end{array} \right. \]

보존량과 포아송 괄호

• 적분가능계가 되기 위해서는 \(N\)개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_ 1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
• 두 함수 \(f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\)에 대한 포아송 괄호를 다음과 같이 정의

\[\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\]

• \(L\)과 \(H\)의 포아송 괄호

\[ \begin{aligned} \{L,H\}&=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right]\\ &=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \dot{p}_i \right] \\ &=\frac{d L}{d t} \end{aligned} \]

• 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다

\[ \begin{array}{c} \{L_i,H\}=0 \\ \{L_i,L_j\}=0 \end{array} \]

작용-각(action-angle) 변수

• 작용 변수 \(I(p,q)\), 각 변수 \(\theta(p,q)\)를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
• 다음 조건을 만족시켜야 한다

\[ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ \partial H/\partial \theta=0 \end{aligned} \end{array} \right. \]

자유낙하하는 물체

• 해밀토니안\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\] g는 중력가속도. m은 입자의 질량
• 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\]
• 운동방정식\[\ddot{q}=-g\]
• 보존량\(E=L_ 1(q,p)=H(q,p)\)은 에너지

\[\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0\]

단순조화진동자(simple harmonic oscillator)

• 고전 단순 조화 진동자 항목 참조
• 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
• 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
• 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
• 운동방정식\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
• 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
• 작용-각 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\) angle 변수 \({\theta}\), \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)

단진자

• 해밀토니안\[H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta\]
• 해밀턴 방정식\[\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}\]\[\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta\]
• 운동방정식\[\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0\]
• 보존량\[\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}\]
• action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf
• http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf

geodesic motion on an ellipsoid

• 곡면 위의 측지선

헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)

• 헤논-헤일스 방정식(Hénon-Heiles Equation)

링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler_and_Kovalevskaya_tops
• Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
• A. Lesfari, "Completely integrable systems: Jacobi's heritage," Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286. http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7
• Taimanov, I. A. “On an Integrable Magnetic Geodesic Flow on the Two-Torus.” arXiv:1508.03745 [math], August 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03745.

메모

• 이체 문제 (케플러 문제, 쿨롱 문제)
• 단진자
• the double pendulum
• the free rigid body
• the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
  • Kovalevskaya Top
• 고전 단순 조화 진동자
• the an-harmonic oscillator in 2 dim
• the motion of a particle in a central potential
• the motion on a sphere with a harmonic potential
• the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi's geodesic flow on an ellipsoid)
• the geodesic motion on a surface of revolution
• the geodesic motion on a torus
• the geodesic motion on a quartic
• the geodesic motion on SO(3)
• the Moser system
• the Calogero-Sutherland systems
• the Calogero-Moser systems
• the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
• the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
• the n-dimensional rigid body
• the Garnier system
• the Gaudin systems
• KdV equation

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxb3gwRzl0RVdnUHc/edit
• http://mathematica.stackexchange.com/questions/41850/how-to-define-the-poisson-bracket-in-mathematica

관련논문

• Magri, Franco, and Taras Skrypnyk. “The Clebsch System.” arXiv:1512.04872 [nlin], December 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04872.