공변미분(covariant derivative)

개요

<math>X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>, <math>Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>
접속 (connection):<math>\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}</math>
다양체 M의 coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))</math> 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>

곡선 <math>\gamma</math>의 매개화가 <math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))</math>로 주어진다고 하자
<math>\gamma</math> 에 대한 벡터장 <math>Y</math> 의 공변미분이 0일 때, 즉:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0</math>

<math>Y</math>는 <math>\gamma</math>를 따라 평행하다고 정의함

<math>Y=\alpha'(t)</math> 로 주어지는 경우,:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>:<math>\frac{DY}{dt}= 0</math> 을 만족하는 경우, 곡선<math>\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)</math>를 측지선 이라 한다