공변미분(covariant derivative)

개요

\(X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\), \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)
접속 (connection)\[\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}\]
다양체 M의 coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))\) 로 표현되는 곡선에 대한, 벡터장 \(Y\) 의 공변미분\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\]

곡선 \(\gamma\)의 매개화가 \(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots, x^{n}(t))\)로 주어진다고 하자
\(\gamma\) 에 대한 벡터장 \(Y\) 의 공변미분이 0일 때, 즉\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\]

\(Y\)는 \(\gamma\)를 따라 평행하다고 정의함

\(Y=\alpha'(t)\) 로 주어지는 경우,\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^n\left(\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}\]\[\frac{DY}{dt}= 0\] 을 만족하는 경우, 곡선\(\alpha(t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\cdots)\)를 측지선 이라 한다