구면기하학

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 30일 (토) 17:42 판
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개요
  • 구면(sphere) 위의 기하학
  • 측지선은 대원으로, 평면기하학에서 직선의 역할을 함
  • 직선과 직선 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 한 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 만남. 즉 평행선은 존재하지 않음.

 

 

구면상의 미분기하학

 

 

구면삼각형의 넓이

평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 그 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.


문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두겠습니다.

 

  • 손톱모양의 넓이
    북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.

    대원둘의 각도가 \(\theta\)로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 \(2\theta\)가 됩니다.
    넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 \(4\pi\)라는 사실을 이용하면 됩니다.

 

  • 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\) 이다
    이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

    위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.
    이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
    세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
    따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = \(2\pi\) (= 구면의 절반의 넓이)
    그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 \(A+B+C-\pi\).
  • 한편 면적은 언제나 양수이므로, 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다!
  • 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요~~~~~!!!!!

 

 

테셀레이션
  • 정다면체에 기반한 구면의 테셀레이션, 똑같이 생긴 삼각형들로 채울수 있는 경우
구면기하학
Td Oh Ih
*332 *432 *532
[[]]


( 3 3 2)

[[]]


(4 3 2)

[[]]


(5 3 2)

이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각

\(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,

\(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}\)

가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다. 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다. 

 

 

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