그라스만 다양체

개요

실 그라스만 다양체:<math>Gr_{kn}(\mathbb{R}) = \{V\subset \mathbb{R}^n | \dim V = k\}</math>
rank가 k인 k x n 행렬로 그라스만 다양체의 한 점을 표현할 수 있다

그라스만 다양체를 사영공간으로 embedding
<math>Gr_{kn}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{N-1}</math> 여기서 <math>N=\binom{n}{k}</math>.
Plücker 좌표 <math>\Delta_{I}(A)</math> = determinant of submatrix of A with column set I

4차원 다양체
다양체 위의 한점은 다음과 같은 형태의 rank가 2인 행렬로 나타낼 수 있다:<math>\left( \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \end{array} \right)</math>
Plücker embedding <math>Gr_{24}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{5}</math>
Plücker 좌표:<math>\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}</math>
Plücker 관계식:<math>\Delta_{1,2}\Delta_{3,4}-\Delta_{1,3}\Delta_{2,4}+\Delta_{1,4}\Delta_{2,3}=0</math> 또는 <math>\Delta _{1,2}\Delta _{3,4}+\Delta _{1,4}\Delta _{2,3}=\Delta _{1,3}\Delta _{2,4}</math>톨레미의 정리