"그레고리-라이프니츠 급수"의 두 판 사이의 차이

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==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 
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* [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
 
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==개요==
 
==개요==
  
 
* 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현
 
* 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현
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:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
  
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<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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 [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상] 에서는 라이프니츠 급수
 
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<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
 
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의 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상을 언급하였다.
 
  
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<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
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==그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산==
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그레고리-라이프니츠 급수의 처음 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상은 다음과 같다
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:<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
  
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실제 원주율과 비교하면, 다음과 같은 현상을 발견할 수 있다 :
  
 
3.141'''3'''926535'''91'''793238'''3'''626433'''954'''7950'''011'''4198179… (위의 급수)
 
3.141'''3'''926535'''91'''793238'''3'''626433'''954'''7950'''011'''4198179… (위의 급수)
  
 
3.141'''5'''926535'''89'''793238'''4'''626433'''832'''7950'''288'''4197169… (원래 파이값)
 
3.141'''5'''926535'''89'''793238'''4'''626433'''832'''7950'''288'''4197169… (원래 파이값)
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이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 [[오일러수]]라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.
 
이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 [[오일러수]]라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.
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:<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
  
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<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
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처음 몇 개의 [[오일러 수]]는 다음과 같다.
  
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:<math>
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\begin{array}{c|c}
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(여기서 참고로, 보통 사인과 코사인 함수의 맥클로린은 학부생 미적분학에서 쉽게 찾아볼 수 있지만, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트와 같은 삼각함수에 대해서는 잘 얘기를 하지 않는다.
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n & E_n \\
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\hline
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<math>B_n</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]], <math>E_n</math>은 [[오일러수]]
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  0 & 1 \\
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2 & -1 \\
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<math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
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4 & 5 \\
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6 & -61 \\
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<math>\cot x =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
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8 & 1385 \\
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10 & -50521 \\
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<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
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12 & 2702765
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\end{array}
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이 수학적으로 흥미로운 계수들에 대하여 말할 수 있는 기회를 놓치는 것이라 생각한다.
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</math>
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아니 미적분학을 말하는데 [[오일러-맥클로린 공식]]을 얘기하지 않는단 말인가!!)
 
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처음 몇 개의 오일러수는 다음과 같다.
 
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<math>E_0=1</math>,<math>E_2 = −1</math>,<math>E_4 = 5</math>,<math>E_6 = −61</math>,<math>E_8 = 1,385</math>,<math>E_{10} = −50,521</math>,<math>E_{12} = 2,702,765</math>,<math>E_{14} = −199,360,981</math>,<math>E_{16} = 19,391,512,145</math>,<math>E_{18} = −2,404,879,675,441</math>
 
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이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.
 
이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.
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:<math>\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots</math>
  
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<math>\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots</math>
 
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수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.
 
수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.
  
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<math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math>
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:<math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math>
  
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여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math>
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여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math>
  
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따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
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따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
  
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오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
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오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
  
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라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
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라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
  
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이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.
 
이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.
  
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예)
 
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<math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
 
  
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===예===
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<math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
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<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math>
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:<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math>
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0.1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789
 
0.1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789
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3.1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수)
 
3.1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수)
  
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.
 
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.
  
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예)
 
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<math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
 
  
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===예===
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<math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
  
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<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
 
  
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:<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
  
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0.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''45''''''67'''89012345678901234567890123456789
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0.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''4567'''89012345678901234567890123456789
  
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3.1'''41'''59265'''3'''5897'''9'''3238'''462'''64'''33''''''83'''27950288419716939937510582
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3.1'''41'''59265'''3'''5897'''9'''3238'''462'''64'''3383'''27950288419716939937510582
  
 
3.1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983
 
3.1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983
  
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.
 
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.
  
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예)
 
  
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<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
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===예===
  
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<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
  
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<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
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:<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
  
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0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
 
0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
  
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3.141'''5'''926535'''8''''''9'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
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3.141'''5'''926535'''89'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
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3.141'''3'''926535'''9''''''1'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0''''''114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
 
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다. 
 
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이제 이에 대한 좀더 학술적인 안내를 받고 싶다면, 다음 글을 참고하시라.
 
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−
* [http://www.jstor.org/stable/2324715 Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions]<br>
 
−
** J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
 
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==재미있는 사실==
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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==역 사==
 
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−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=Leibniz+series+pi
 
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메 모==
 
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==관련된 항목들==
 
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==수학용어번역==
 
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−
* 단어사 전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* 발음사 전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수 학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남· 북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==사전 형태의 자료==
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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==관 련논문==
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
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*  도 서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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3.141'''3'''926535'''91'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
  
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==관 련기사==
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.
  
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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==메모==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상]
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==관련논문==
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* [http://www.jstor.org/stable/2324715 Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions], J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
  
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2020년 12월 28일 (월) 03:08 기준 최신판

개요

  • 1680년경 발견된 파이의 무한급수 표현

\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]


그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산

그레고리-라이프니츠 급수의 처음 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상은 다음과 같다 \[4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\]

실제 원주율과 비교하면, 다음과 같은 현상을 발견할 수 있다 :

3.141392653591793238362643395479500114198179… (위의 급수)

3.141592653589793238462643383279502884197169… (원래 파이값)

이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 오일러수라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다. \[\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]

처음 몇 개의 오일러 수는 다음과 같다.

\[ \begin{array}{c|c} n & E_n \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 4 & 5 \\ 6 & -61 \\ 8 & 1385 \\ 10 & -50521 \\ 12 & 2702765 \end{array} \]


이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots\]


수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.

\[4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\]

여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)


따라서 \(N=10^{l}\) 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.


이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.


예

\(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다. \[4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\]


0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)


자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.


예

\(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.


\[4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\]

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983


자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.



예

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

\[4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\]


0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.1413926535917932383626433954795001141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687


자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.


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관련논문

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