그린 함수(Green's function)

수학노트
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개요

  • 경계 조건 또는 초기 조건이 주어진 inhomogeneous 선형미분방정식의 해를 표현하기 위한 함수
  • 일반적으로는 distribution
  • 예를 들어 heat kernel 은 열방정식의 그린 함수이다


복소함수론에서의 그린 함수

  • 단순연결된 열린 집합 \(U\subset \mathbb{C}\)와 \(z_0\in U\)에 대한 그린 함수 \(u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}\) 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
    • \(u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|\)는 \(U\)에서 정의되는 조화함수
    • \(z\to \partial{U}\)일 때, \(u_{z_0}\to 0\)
  • 컴팩트 리만 곡면에 대해서도 그린 함수를 정의할 수 있다
    • 리만 곡면론의 전개에 중요한 역할


unit disk에서의 예

  • \(\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}\)와 \(z_0=0\)에 대한 그린 함수 \(u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}\) 는 다음과 같이 주어진다

\[ u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2) \]


포아송 방정식

  • \(U\)에서 \(\Delta u=f\)이고 \(\partial{U}\)에서 \(u=0\)로 주어지는 미분방정식의 해 \(u\)를 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta \]


상미분방정식에서의 응용



편미분방정식에서의 응용




열방정식

  • 열방정식 heat kernel 부분에서 가져옴
  • 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
  • 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포\[u(x,0)=f(x)\]
  • heat kernel\[K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\]
  • heat kernel 을 이용한 열방정식의 해\[u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\]



포아송 방정식



맥스웰 방정식


역사



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관련논문

  • Grossi, Massimo, and Djordjije Vujadinovic. “On the Green Function of the Annulus.” arXiv:1508.06404 [math], August 26, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06404.
  • Melnikov, Y.A., and M.Y. Melnikov. 2006. “Computability of Series Representations for Green’s Functions in a Rectangle.” Engineering Analysis with Boundary Elements 30 (9) (September): 774–780. doi:10.1016/j.enganabound.2006.03.010.
  • Jacobson, A. W. 1950. “The Green’s Functions for the Rectangle Obtained by the Finite Fourier Transformations.” Proceedings of the American Mathematical Society 1 (5) (October 1): 682–686. doi:10.2307/2032301.

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