극좌표계

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개요

극선을 x 축의 양의 방향으로 했을 때
\(x = r \cos \theta\)
\(y = r \sin \theta\)

좌표계의 변환

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\)

여기서 \(\arctan{x}\) 는 \(\tan{x}\) 의 역함수.

길이소

\(ds^2= dr^2 +r^2 d \theta^2\)

넓이소

\( dA = dxdy = rdrd\theta\)

1. 그림으로 이해하기

[[파일:4594197-cartesian.jpg] [/pages/4594197/attachments/2515179 polar_copy.jpg]]

큰 그림은 여기서 보자.

그림에서 근사 기호가 아니라 등호가 사용된 데에 대해 의문을 가질 수도 있겠다. 하지만, 간격 \(dr\), \(d\theta\) 가 굉장히 작아지면 이 오차는 의미가 없게 된다.

2. 야코비안

\(J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)

\(dA=J \,dr \,d\theta = r\,dr\,d\theta\)

라플라시안

라플라시안(Laplacian)\[\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\]
\(\frac{\partial}{\partial x}=\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\)
\(\frac{\partial}{\partial y}=\sin\theta \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\)
http://banach.millersville.edu/~bob/math467/Laplacian.pdf
http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/07/275-the-laplacian-in-polar-coordinates/

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