"극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타"의 두 판 사이의 차이
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(2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|y-2|<\delta</math> | (2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|y-2|<\delta</math> | ||
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(4) <math>|x-3|<\delta</math> 를 <math>|(x-1)-2|<\delta</math>로 다시 쓰면, <math>2-\delta<|x-1|<2+\delta</math>를 얻는다. | (4) <math>|x-3|<\delta</math> 를 <math>|(x-1)-2|<\delta</math>로 다시 쓰면, <math>2-\delta<|x-1|<2+\delta</math>를 얻는다. | ||
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<math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta</math>를 <math>\{1,{\epsilon}/2\}</math>의 최소값이라 하자. | <math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta</math>를 <math>\{1,{\epsilon}/2\}</math>의 최소값이라 하자. | ||
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<math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>이 성립한다. ■ | <math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>이 성립한다. ■ | ||
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:<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math> | :<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math> | ||
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<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math>이 성립한다. ■ | <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math>이 성립한다. ■ | ||
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==사전형태의 자료== | ==사전형태의 자료== | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/(ε,_δ)-definition_of_limit | * http://en.wikipedia.org/wiki/(ε,_δ)-definition_of_limit | ||
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| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1042034 Q1042034] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
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2021년 2월 17일 (수) 05:00 기준 최신판
개요
예
1
\[\lim_{x\to 0} x^2=0\] (증명)
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)라 두자.
\(0<|x-0|<\delta=\sqrt{\epsilon}/2\)이면,
\(|x^2-0|<\epsilon/4<\epsilon\) 이다.
따라서 \(\lim_{x\to 0} x^2=0\)이 성립한다. ■
2
\[\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\]
(증명)
먼저 몇 개의 부등식을 보자.
\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.
(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|x-3|<\delta\)
(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)
(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)
(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.
위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.
부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.
\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)
그러므로,
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■
3
\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0\]
(증명)
\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 로 두자.
\(|\sqrt{x^2+y^2}|<\delta=\frac{\epsilon}{2}\) 이면, \(|\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0|=|x||\frac{y^2}{x^2+y^2}|\leq |x|<\epsilon\)
\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0\)이 성립한다. ■
메모
- Galina, Sinkevich. ‘On the History of Epsilontics’. arXiv:1502.06942 [math], 22 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.06942.
관련된 항목들
사전형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1042034
Spacy 패턴 목록
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