다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

수학노트
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개요

  • 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
다면체 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times \pi = 4\pi\)
정육면체 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times \frac{\pi}{2} = 4\pi\)
정팔면체 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times \frac{2\pi}{3} = 4\pi\)
정십이면체 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3 \times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times \frac{\pi}{5} = 4\pi\)
정이십면체 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5 \times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times \frac{\pi}{3} = 4\pi\)
  • 여기서 어느 정다면체나 \(V-E+F=2\) 가 됨을 확인할 수 있다.
  • 이 사실은 정다면체뿐 아니라, 구면과 위상적으로 같은 성질을 갖는 다면체에 대해서도 적용됨.



증명

  • 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다.
  • 그 다음 구에서 평면으로 가는 사영을 생각해 보자.
  • 그러면 평면상의 그래프를 하나 얻게 된다.
  • 이제 평면상의 그래프를 통해 V,E,F를 세면 된다.

2584866-eulerani.gif

  • 이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다.
  • 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다.
  • 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 된다.


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