다변수미적분학
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개요
- 다변수 함수의 미분과 적분을 공부함.
- 라그랑지 승수 법칙과 헤세판정법을 통해, 함수의 최대값과 최소값을 구하는 기술을 배움.
- '미적분학의 기본정리'의 다변수 확장 버전인 '스토크스 정리' 를 공부함.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 일변수미적분학
- 기초적인 선형대수학
- 좌표공간
- 행렬식
- 외적(cross product)
다루는 대상
- 곡선, 곡면, n차원 공간
- 벡터장
중요한 개념 및 정리
- 편미분
- 다변수 함수의 테일러 전개
- 미분연산자
- grad
- div
- curl
- 내적과 외적
- 다변수 함수의 임계점
- 라그랑지 승수 법칙(Lagrange multiplier)
- 헤세판정법
- 모스 보조정리 (Morse lemma)
- 판별식 판별법(Determinant test)
- 다중적분
- 푸비니의 정리 (Fubini's theorem)
- 좌표변환
- 자코비안과 행렬식
- 극좌표계
- 구면좌표계
- 원통좌표계
- 치환적분법
- 그린 정리
- 발산 정리
- 스토크스 정리
- 미분형식으로 표현되는 스토크스 정리의 특별한 경우로 생각할 수 있음.
유명한 정리 혹은 재미있는 문제
- grad, div, curl 과 같은 미분연산자의 좌표불변성
- n차원 구의 부피
- 3차원의 외적을 고차원으로 확장할 수 있을까?1,2,4,8 과 1,3,7
다른 과목과의 관련성
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 미분형식 (differential forms)
- 스토크스 정리를 고차원으로 일반화하기 위해서는, 미분다양체와 미분형식의 언어가 필요함
- 미분다양체론
표준적인 교과서
추천도서 및 보조교재
- Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus
- Michael Spivak
- Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus
- H. M. Schey
- A history of vector analysis: the evolution of the idea of a vectorial system
- Michael J. Crowe
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/vector_calculus
- http://en.wikipedia.org/wiki/Del
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문과 에세이
- Vector Analysis
- Homer V. Craig, Mathematics Magazine, Vol. 25, No. 2 (Nov. - Dec., 1951), pp. 67-86
- Bringing Calculus Up-to-Date
- M. E. Munroe, The American Mathematical Monthly, Vol. 65, No. 2 (Feb., 1958), pp. 81-90
- Some Remarks About the Curl of a Vector Field
- J. D. Weston, The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 4 (Apr., 1961), pp. 359-361
- Invariant Definitions for Vector Calculus
- Oswald Wyler, The American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (Apr., 1968), pp. 394-396
- On the Curl of a Vector Field
- J.-F. Dumais, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 7 (Aug. - Sep., 1982), pp. 469-473
- Understanding Vector Fields
- C. R. Curjel, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 6 (Jun. - Jul., 1990), pp. 524-527
- Using Differentials to Bridge the Vector Calculus Gap
- Tevian Dray and Corinne A. Manogue, The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 4 (Sep., 2003), pp. 283-290
- Degenerate Critical Points
- Theodore S. Bolis, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 5 (Nov., 1980), pp. 294-299
- Change of Variables in Multiple Integrals: Euler to Cartan
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 1 (Jan., 1982), pp. 3-11
- The History of Stokes' Theorem
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156
- 좌표공간
- 행렬식
- grad
- div
- curl
- 모스 보조정리 (Morse lemma)
- 판별식 판별법(Determinant test)
- 푸비니의 정리 (Fubini's theorem)
- 자코비안과 행렬식
- 극좌표계
- 구면좌표계
- 원통좌표계
- 치환적분법
- 미분형식으로 표현되는 스토크스 정리의 특별한 경우로 생각할 수 있음.
- 스토크스 정리를 고차원으로 일반화하기 위해서는, 미분다양체와 미분형식의 언어가 필요함
- Michael Spivak
- H. M. Schey
- Michael J. Crowe
- Homer V. Craig, Mathematics Magazine, Vol. 25, No. 2 (Nov. - Dec., 1951), pp. 67-86
- M. E. Munroe, The American Mathematical Monthly, Vol. 65, No. 2 (Feb., 1958), pp. 81-90
- J. D. Weston, The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 4 (Apr., 1961), pp. 359-361
- Oswald Wyler, The American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (Apr., 1968), pp. 394-396
- J.-F. Dumais, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 7 (Aug. - Sep., 1982), pp. 469-473
- C. R. Curjel, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 6 (Jun. - Jul., 1990), pp. 524-527
- Tevian Dray and Corinne A. Manogue, The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 4 (Sep., 2003), pp. 283-290
- Theodore S. Bolis, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 5 (Nov., 1980), pp. 294-299
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 1 (Jan., 1982), pp. 3-11
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156