"다이감마 함수(digamma function)"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 급수표현:<math>\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots</math | + | * 급수표현:<math>\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots</math> |
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| − | * [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]:<math>\Delta \psi=\frac{1}{x}</math> 즉, | + | * [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]:<math>\Delta \psi=\frac{1}{x}</math> 즉, |
<math>\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}</math> | <math>\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}</math> | ||
| − | * 차분방정식의 기본정리를 적용하면:<math>\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)</math | + | * 차분방정식의 기본정리를 적용하면:<math>\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)</math> |
| − | * [[조화급수와 조화 평균에서 '조화'란?|조화급수]]와의 관계:<math>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma</math | + | * [[조화급수와 조화 평균에서 '조화'란?|조화급수]]와의 관계:<math>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma</math> |
| − | * 일반화:<math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math | + | * 일반화:<math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math> |
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| + | \psi(x) - \log(x) &= - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\\ | ||
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| + | \psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} | ||
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| − | * [[감마함수]]의 반사공식:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math | + | * [[감마함수]]의 반사공식:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math> |
| − | * 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다 | + | * 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다 |
<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math> | <math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math> | ||
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| − | * [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질:<math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math | + | * [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질:<math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math> |
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<math>m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)</math> ■ | <math>m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)</math> ■ | ||
| − | * 이항 덧셈공식:<math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math | + | * 이항 덧셈공식:<math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math> |
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | * [[감마함수]] | + | * [[감마함수]] |
| − | * [[디리클레 L-함수]] | + | * [[디리클레 L-함수]] |
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS2kzTUV2NTBHX1k/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS2kzTUV2NTBHX1k/edit | ||
| + | * http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function | ||
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| + | * http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=di&page=9 | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function | ||
* http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html | * http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
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* [http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2009.02.007 Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich] Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873 | * [http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2009.02.007 Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich] Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873 | ||
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2013년 6월 19일 (수) 14:26 판
개요
- 감마함수의 로그미분으로 정의
- 차분방정식에서 자연스럽게 등장함.
정의와 급수표현
- 정의\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]
- 급수표현\[\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\]
(증명)
감마함수의 무한곱표현
\(\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)
위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■
- \(z = 0, -1, -2, -3, \cdots\) 에서 pole을 가진다
함수의 그래프
- \(-3<x<3\)일 때, \(\psi(x)\)의 그래프
1.gif)
도함수와 polygamma 함수
- trigamma \(\psi^{(1)}(z)\)
- tetragamma \(\psi^{(2)}(z)\)
- pentagamma \(\psi^{(3)}(z)\)
- 폴리감마함수(polygamma functions)
차분방정식과의 관계
- 차분방정식\[\Delta \psi=\frac{1}{x}\] 즉,
\(\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}\)
- 차분방정식의 기본정리를 적용하면\[\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\]
- 조화급수와의 관계\[\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\]
- 일반화\[\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\]
점근 급수
- 점근 급수(asymptotic series) $x\sim \infty$ 일 때,
$$ \begin{align} \psi(x) - \log(x) &= - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\\ &=-\frac{1}{12 x^2}+\frac{1}{120 x^4}-\frac{1}{252 x^6}+\frac{1}{240 x^8}-\frac{1}{132 x^{10}}+\cdots \end{align} $$ 또는 $$ \psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} $$ 여기서 \(B_{n}\)은 베르누이 수
반사공식
- 감마함수의 반사공식\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]
- 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다
\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)
여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다
\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)
덧셈공식
- 감마함수의 곱셈공식에 따른 성질\[m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)\]
(증명)
감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)\)
변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,
\((m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)\)
미분하면,
\(m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)\) ■
- 이항 덧셈공식\[2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2\]
가우스의 Digamma 정리
\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \)
\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \)
special values
\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)
\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)\)
\(\psi\left(\frac{2}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) \)
\(\psi\left(\frac{3}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) \)
\(\psi\left(\frac{4}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)\)
\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS2kzTUV2NTBHX1k/edit
- http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
- http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html
관련논문
- Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873
관련도서
- Methods of SummationBertram Ross