다이감마 함수(digamma function)

개요

감마함수의 로그미분으로 정의

차분방정식에서 자연스럽게 등장함.

정의와 급수표현

정의\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]
급수표현\[\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\]

(증명)

감마함수의 무한곱표현

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■

$z = 0, -1, -2, -3, \cdots$ 에서 pole을 가진다

함수의 그래프

$-3<x<3$일 때, $\psi(x)$의 그래프

도함수와 polygamma 함수

trigamma $\psi^{(1)}(z)$
tetragamma $\psi^{(2)}(z)$
pentagamma $\psi^{(3)}(z)$
폴리감마함수(polygamma functions)

차분방정식과의 관계

차분방정식\[\Delta \psi=\frac{1}{x}\] 즉,

$\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}$

차분방정식의 기본정리를 적용하면\[\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\]
조화급수와의 관계\[\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\]
일반화\[\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\]

점근 급수

점근 급수(asymptotic series) $x\sim \infty$ 일 때,

$$ \begin{align} \psi(x) - \log(x) &= - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\\ &=-\frac{1}{12 x^2}+\frac{1}{120 x^4}-\frac{1}{252 x^6}+\frac{1}{240 x^8}-\frac{1}{132 x^{10}}+\cdots \end{align} $$ 또는 $$ \psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} $$ 여기서 $B_{n}$은 베르누이 수

반사공식

감마함수의 반사공식\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]
위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

$\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }$

여기서 $x$를 $-x$로 두면 다음을 얻는다

$\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }$

덧셈공식

감마함수의 곱셈공식에 따른 성질\[m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)\]

(증명)

감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)$

변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,

$(m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)$

미분하면,

$m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)$ ■

이항 덧셈공식\[2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2\]

가우스의 Digamma 정리

$\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) $

$\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) $

special values

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma$

$\psi\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)$

$\psi\left(\frac{2}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) $

$\psi\left(\frac{3}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) $

$\psi\left(\frac{4}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)$

$\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma$

$\psi\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma$

역사

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