다이감마 함수(digamma function)
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개요
- 감마함수의 로그미분으로 정의
- 차분방정식에서 자연스럽게 등장함.
정의와 급수표현
- 정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\) - 급수표현
\(\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\)
(증명)
감마함수의 무한곱표현
\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)
위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■
- \(z = 0, -1, -2, -3, \cdots\) 에서 pole을 가진다
함수의 그래프
- \(-5<x<5\)일 때, \(\psi(x)\)의 그래프
[/pages/3767493/attachments/3141571 digamma.jpg]
도함수와 polygamma 함수
- trigamma
\(\psi'(z)=\frac{1}{x^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}\) - tetragamma \(\psi''(z)\)
- pentagamma \(\psi^{(3)}(z)\)
차분방정식과의 관계
- 차분방정식
\(\Delta \psi=\frac{1}{x}\) 즉,
\(\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}\)
- 차분방정식의 기본정리를 적용하면
\(\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\) - 조화급수와의 관계
\(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\) - 일반화
\(\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\)
asymptotic series
- 급수표현
\(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\)
\(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}\) - 베르누이 수
반사공식
- 감마함수의 반사공식
\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\) - 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다
\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)
여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다
\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)
덧셈공식
- 이항 덧셈공식
\(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\)
(증명)
감마함수의 곱셈공식
\(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)
로그를 취하면
\((2\ln 2)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{1}{2}\right) = \ln 2\sqrt{\pi}+\ln \Gamma(2x)\)
미분하면,
\(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\) ■
가우스의 Digamma 정리
\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)
\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)
special values
\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)
\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} +\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{5}\right) =- \gamma-\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\sqrt{5}}{4}\ln\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\)
\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)
\(\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
- http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html
- http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich
- Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873
관련도서
- Methods of Summation
- Bertram Ross
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관련기사
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