"다이로그 함수와 부정적분"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 16일 (월) 07:32 기준 최신판

개요

오일러치환

유리함수 \(R(x,y)\)와 \(Q(x,y)\)에 대하여 다음과 같은 적분에 대하여 오일러 치환을 사용할 수 있다\[\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\log Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\]
\(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
예\[I=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\log(x+\sqrt{1+x^2})\,dx\] \[\sqrt{1+x^2}=xt+1\]\[x=\frac{2t}{1-t^2}\]\[I=\int\frac{1}{t}\{\log(1+t)-\log(1-t)\}\,dt\]\[=\operatorname{Li}_{2}(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x})-\operatorname{Li}_{2}(1-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x})\]

여러가지 부정적분

\(\alpha\neq\gamma\)인 경우

\(\int\frac{\log(\alpha+t)}{\gamma+t}\,dt=\log(\alpha-\gamma)\log(\frac{\gamma+t}{\gamma})-\operatorname{Li}_{2}(\frac{\gamma+t}{\gamma-\alpha})+C\)

\(\int\frac{\log(\gamma+t)}{\gamma+t}\,dt=\frac{1}{2}\log^2(\gamma+t)+C\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2((\sqrt{1+x^2}-x)^2)+\frac{1}{2}\log^2(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{2})\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log (1+x^2)}{\sqrt{1-x}}\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(-x)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(\frac{2x}{1+x^2})-\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{4}\log^2(1+x^2)-\log(1-x)\log(1+x^2)\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log x\log(x-1)}{x}\,dx=\operatorname{Li}_3(x)-\log x\operatorname{Li}_2(x)\)

역사

메모

수학용어번역

사전 형태의 자료

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 ==오일러치환==
-*  유리함수 <math>R(x,y)</math>와 <math>Q(x,y)</math>에 대하여 다음과 같은 적분에 대하여 [[오일러 치환]]을 사용할 수 있다:<math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\log Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math><br>
+*  유리함수 <math>R(x,y)</math>와 <math>Q(x,y)</math>에 대하여 다음과 같은 적분에 대하여 [[오일러 치환]]을 사용할 수 있다:<math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\log Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx</math>
-* <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환<br>
+* <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환
-*  예:<math>I=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\log(x+\sqrt{1+x^2})\,dx</math><br>  :<math>\sqrt{1+x^2}=xt+1</math>:<math>x=\frac{2t}{1-t^2}</math>:<math>I=\int\frac{1}{t}\{\log(1+t)-\log(1-t)\}\,dt</math>:<math>=\operatorname{Li}_{2}(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x})-\operatorname{Li}_{2}(1-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x})</math><br>
+*  예:<math>I=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\log(x+\sqrt{1+x^2})\,dx</math>  :<math>\sqrt{1+x^2}=xt+1</math>:<math>x=\frac{2t}{1-t^2}</math>:<math>I=\int\frac{1}{t}\{\log(1+t)-\log(1-t)\}\,dt</math>:<math>=\operatorname{Li}_{2}(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x})-\operatorname{Li}_{2}(1-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x})</math>
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 ==관련된 항목들==
-* [[적분의 주제들]]<br>
+* [[적분의 주제들]]
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 * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 * 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
+* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 [[분류:다이로그]]
+[[분류:적분]]