다이로그 함수와 부정적분

오일러치환

• 유리함수 \(R(x,y)\)와 \(Q(x,y)\)에 대하여 다음과 같은 적분에 대하여 오일러 치환을 사용할 수 있다
  \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\log Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\)
  
• \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  
• 예
  \(I=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\log(x+\sqrt{1+x^2})\,dx\)
  
  \(\sqrt{1+x^2}=xt+1\)
  \(x=\frac{2t}{1-t^2}\)
  \(I=\int\frac{1}{t}\{\log(1+t)-\log(1-t)\}\,dt\)
  \(=\operatorname{Li}_{2}(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x})-\operatorname{Li}_{2}(1-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x})\)
  

여러가지 부정적분

\(\alpha\neq\gamma\)인 경우

\(\int\frac{\log(\alpha+t)}{\gamma+t}\,dt=\log(\alpha-\gamma)\log(\frac{\gamma+t}{\gamma})-\operatorname{Li}_{2}(\frac{\gamma+t}{\gamma-\alpha})+C\)

\(\int\frac{\log(\gamma+t)}{\gamma+t}\,dt=\frac{1}{2}\log^2(\gamma+t)+C\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2((\sqrt{1+x^2}-x)^2)+\frac{1}{2}\log^2(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{2})\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log (1+x^2)}{\sqrt{1-x}}\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(-x)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(\frac{2x}{1+x^2})-\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{4}\log^2(1+x^2)-\log(1-x)\log(1+x^2)\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log x\log(x-1)}{x}\,dx=\operatorname{Li}_3(x)-\log x\operatorname{Li}_2(x)\)

재미있는 사실

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

관련된 항목들

• 적분의 주제들
  

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=