다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

개요

• 로저스 dilogarithm \(L(x)\)
• dilogarithm 항등식 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]
• Polylogarithm ladders 으로 불리기도 한다
• 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다

원분다항식과 dilogarithm 항등식

• 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)\[\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\] 여기서 \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
• 대응되는 dilogarithm 항등식\[\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\] 여기서 c 는 유리수

유리수

• 오일러\[L(1)=\frac{\pi^2}{6}\]\[-2L(-1)=L(1)\]\[2L(\frac{1}{2})=L(1)\]
• Lewin\[L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\]\[L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\]
• ???\[2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)\]

2차식

• 란덴\[5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\]\[5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\]
• 콕세터(1935)\[\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\] 는 황금비\[L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}\]\[L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)+\frac{7\pi^2}{10}\]\[L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{\pi^2}{5}\]
• Lewin\[L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{\pi^2}{30}\]
• Lewin\[x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\]\[L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\]
• Browkin\[x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\], \(z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)\[L(x^6)-6L(x^3)+L(x^2)+18L(x)=8L(1)\]\[L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\]
• 르장드르 카이 함수\[L(\sqrt{2}-1)-4L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{\pi^2}{4}\]\[L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-4L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=\frac{\pi^2}{3}\]\[L(\sqrt{5}-2)-4L((\sqrt{5}-2)^2)=\frac{\pi^2}{6}\]
• Loxton\[x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\]\[12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=\frac{5\pi^{2}}{6}\]

3차식

• 왓슨\[\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\] 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.\[7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\]\[7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\]\[7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\]
• Loxton & Lewin\[x, -y, -z^{-1}\]가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.\[3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\]\[3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\]\[3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\]
• Gordon & McIntosh\[a, -b, -c^{-1}\]가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.\[2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\]\[2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\]\[2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\]

4차식

• Gordon & McIntosh\[\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\] 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해\[5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\]\[L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\]

etc

\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)

http://www.jstor.org/stable/2152925

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=dilogarithm
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 원분다항식(cyclotomic polynomial)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxODUxMjM0ZTctNWRlYS00NmMxLWJiZTItYjk0YTQ4YjA1YjBl&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
• http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html

관련논문

• A seventeenth-order polylogarithm ladder
  • David H. Bailey, David J. Broadhurst
• Algebraic Dilogarithm Identities
  • Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997
• Dilogarithm identities
  • Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
• Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras
  • A. N. Kirillov, 1989
• The inner structure of the dilogarithm in algebraic fields
  • L. Lewin, 1984
• Special values of the dilogarithm function
  • J. H. Loxton, 1984
• The dilogarithm in algebraic fields
  • L. Lewin, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) (1982), 33 : 302-33
• A Note on Spence's Logarithmic Transcendent
  • Watson, G. N., Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937
• The functions of Schlafli and Lobatschefsky
  • Coxeter, H.S.M. (1935), Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) 6: 13–29