"다이로그 항등식 (dilogarithm identities)"의 두 판 사이의 차이
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* [http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X%2884%2990077-5 The inner structure of the dilogarithm in algebraic fields] | * [http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X%2884%2990077-5 The inner structure of the dilogarithm in algebraic fields] | ||
** L. Lewin, 1984 | ** L. Lewin, 1984 | ||
− | * | + | * Loxton, J. H. 1984. “Special Values of the Dilogarithm Function.”Acta Arithmetica 43 (2): 155–166. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa43/aa4326.pdf |
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* [http://dx.doi.org/10.1017/S1446788700018747 The dilogarithm in algebraic fields] | * [http://dx.doi.org/10.1017/S1446788700018747 The dilogarithm in algebraic fields] | ||
** L. Lewin, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) (1982), 33 : 302-33 | ** L. Lewin, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) (1982), 33 : 302-33 | ||
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[[분류:다이로그]] | [[분류:다이로그]] | ||
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+ | ==메타데이터== | ||
+ | ===위키데이터=== | ||
+ | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1238449 Q1238449] | ||
+ | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
+ | * [{'LEMMA': 'polylogarithm'}] |
2021년 2월 17일 (수) 05:01 기준 최신판
개요
- 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) \(L(x)\)
- 다이로그 항등식이란 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 말함
\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]
- Polylogarithm ladder라 불리기도 한다
- 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
원분다항식과 dilogarithm 항등식
- 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)\[\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\] 여기서 \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
- 대응되는 dilogarithm 항등식\[\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\] 여기서 c 는 유리수
유리수
- 오일러\[L(1)=\frac{\pi^2}{6}\]\[-2L(-1)=L(1)\]\[2L(\frac{1}{2})=L(1)\]
- Lewin\[L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\]\[L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\]
- ???\[2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)\]
2차식
\[5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\]\[5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\]
- 콕세터(1935) \(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)라 두자
\[L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7}{5}L(1)\] \[L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)-\frac{21}{5}L(1)\] \[L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{6}{5}L(1)\]
- Lewin
\[L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{1}{5}L(1)\]
- Lewin
\[L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)
- Browkin
\[L(x^6)-6L(x^3)+3L(x^2)+18L(x)=8L(1)\] \[L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)
\[4L(\sqrt{2}-1)-L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{3}{2}L(1)\] \[4L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=2L(1)\] \[4L(\sqrt{5}-2)-L((\sqrt{5}-2)^2)=L(1)\]
- Loxton
\[12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=5L(1)\] \[12L(\gamma)-9L(\gamma^{2})-2L(\gamma^{3})+L(\gamma^6)=3L(1)\] 여기서 \(\beta=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\gamma=\sqrt{3}-1\).
3차식
- 왓슨 \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.
\[7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\] \[7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\] \[7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\]
- Loxton & Lewin \(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.
\[3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\] \[3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\] \[3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\]
- Gordon & McIntosh \(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.
\[2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\] \[2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\] \[2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\]
4차식
- Gordon & McIntosh \(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해\[5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\]\[L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\]
etc
\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)
http://www.jstor.org/stable/2152925
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련논문
- A seventeenth-order polylogarithm ladder
- David H. Bailey, David J. Broadhurst
- Algebraic Dilogarithm Identities
- Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997
- Dilogarithm identities
- Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
- Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras
- A. N. Kirillov, 1989
- The inner structure of the dilogarithm in algebraic fields
- L. Lewin, 1984
- Loxton, J. H. 1984. “Special Values of the Dilogarithm Function.”Acta Arithmetica 43 (2): 155–166. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa43/aa4326.pdf
- The dilogarithm in algebraic fields
- L. Lewin, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) (1982), 33 : 302-33
- A Note on Spence's Logarithmic Transcendent
- Watson, G. N., Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937
- The functions of Schlafli and Lobatschefsky
- Coxeter, H.S.M. (1935), Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) 6: 13–29
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1238449
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': 'polylogarithm'}]