"다이로그 항등식 (dilogarithm identities)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:01 기준 최신판

개요

로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm) \(L(x)\)
다이로그 항등식이란 대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 말함

\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]

Polylogarithm ladder라 불리기도 한다
모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다

원분다항식과 dilogarithm 항등식

원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)\[\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\] 여기서 \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
대응되는 dilogarithm 항등식\[\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\] 여기서 c 는 유리수

유리수

오일러\[L(1)=\frac{\pi^2}{6}\]\[-2L(-1)=L(1)\]\[2L(\frac{1}{2})=L(1)\]
Lewin\[L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\]\[L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\]
???\[2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)\]

2차식

란덴 다이로그 항등식

\[5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\]\[5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\]

콕세터(1935) \(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)라 두자

\[L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7}{5}L(1)\] \[L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)-\frac{21}{5}L(1)\] \[L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{6}{5}L(1)\]

Lewin

\[L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{1}{5}L(1)\]

Lewin

\[L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)

Browkin

\[L(x^6)-6L(x^3)+3L(x^2)+18L(x)=8L(1)\] \[L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)

르장드르 카이 함수

\[4L(\sqrt{2}-1)-L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{3}{2}L(1)\] \[4L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=2L(1)\] \[4L(\sqrt{5}-2)-L((\sqrt{5}-2)^2)=L(1)\]

Loxton

\[12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=5L(1)\] \[12L(\gamma)-9L(\gamma^{2})-2L(\gamma^{3})+L(\gamma^6)=3L(1)\] 여기서 \(\beta=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\gamma=\sqrt{3}-1\).

3차식

왓슨 \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\[7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\] \[7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\] \[7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\]

Loxton & Lewin \(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.

\[3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\] \[3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\] \[3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\]

Gordon & McIntosh \(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.

\[2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\] \[2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\] \[2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\]

4차식

Gordon & McIntosh \(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해\[5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\]\[L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\]

etc

\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)

http://www.jstor.org/stable/2152925

역사

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxODUxMjM0ZTctNWRlYS00NmMxLWJiZTItYjk0YTQ4YjA1YjBl&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q1238449

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'polylogarithm'}]

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 * [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]] <math>L(x)</math>
-*  dilogarithm 항등식 대수적수 <math>x_i</math>와 유리수 <math>c</math>에 대한 다음과 같은 형태의 항등식:<math>\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)</math>
+* 다이로그 항등식이란 대수적수 <math>x_i</math>와 유리수 <math>c</math>에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 말함
-*  Polylogarithm ladders 으로 불리기도 한다
+:<math>\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)</math>
-*  모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
+* Polylogarithm ladder라 불리기도 한다
+* 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
 ==원분다항식과 dilogarithm 항등식==
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 ==2차식==
-*  란덴:<math>5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)</math>:<math>5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)</math>
+* [[란덴 다이로그 항등식]]
-*  콕세터(1935):<math>\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)</math> 는 [[황금비]]:<math>L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}</math>:<math>L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)+\frac{7\pi^2}{10}</math>:<math>L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{\pi^2}{5}</math>
+:<math>5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)</math>:<math>5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)</math>
-*  Lewin:<math>L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{\pi^2}{30}</math>
+*  콕세터(1935) <math>\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)</math>라 두자
-*  Lewin:<math>x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}</math>:<math>L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)</math>
+:<math>L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7}{5}L(1)</math>
-*  Browkin:<math>x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}</math>:<math>L(x^6)-6L(x^3)+L(x^2)+18L(x)=8L(1)</math>:<math>L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)</math>
+:<math>L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)-\frac{21}{5}L(1)</math>
-* [[르장드르 카이 함수]]:<math>L(\sqrt{2}-1)-4L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{\pi^2}{4}</math>:<math>L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-4L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=\frac{\pi^2}{3}</math>:<math>L(\sqrt{5}-2)-4L((\sqrt{5}-2)^2)=\frac{\pi^2}{6}</math>
+:<math>L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{6}{5}L(1)</math>
-*  Loxton:<math>x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}</math>:<math>12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=\frac{5\pi^{2}}{6}</math>
+*  Lewin
+:<math>L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{1}{5}L(1)</math>
+* Lewin
+:<math>L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)</math>
+여기서 <math>x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}</math>
+*  Browkin
+:<math>L(x^6)-6L(x^3)+3L(x^2)+18L(x)=8L(1)</math>
+:<math>L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)</math>
+여기서 <math>x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}</math>
+* [[르장드르 카이 함수]]
+:<math>4L(\sqrt{2}-1)-L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{3}{2}L(1)</math>
+:<math>4L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=2L(1)</math>
+:<math>4L(\sqrt{5}-2)-L((\sqrt{5}-2)^2)=L(1)</math>
+*  Loxton
+:<math>12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=5L(1)</math>
+:<math>12L(\gamma)-9L(\gamma^{2})-2L(\gamma^{3})+L(\gamma^6)=3L(1)</math>
+여기서 <math>\beta=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\gamma=\sqrt{3}-1</math>.
 ==3차식==
+*  왓슨 <math>\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}</math> 가 방정식<math>x^3+2x^2-x-1=0</math> 의 해라고 하자.
-*  왓슨 <math>\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}</math> 가 방정식<math>x^3+2x^2-x-1=0</math> 의 해라고 하자.:<math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math>:<math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math>:<math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math>
+:<math>7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0</math>
-*  Loxton & Lewin <math>x, -y, -z^{-1}</math>가 방정식 <math>x^3+3x^2-1=0</math>의 해라고 하자.:<math>3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0</math>:<math>3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0</math>:<math>3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0</math>
+:<math>7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0</math>
-*  Gordon & McIntosh <math>a, -b, -c^{-1}</math>가 방정식 <math>x^3+6x^2+3x-1=0</math>의 해라고 하자.:<math>2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0</math>:<math>2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0</math>:<math>2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0</math>
+:<math>7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0</math>
+*  Loxton & Lewin <math>x, -y, -z^{-1}</math>가 방정식 <math>x^3+3x^2-1=0</math>의 해라고 하자.
+:<math>3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0</math>
+:<math>3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0</math>
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+*  Gordon & McIntosh <math>a, -b, -c^{-1}</math>가 방정식 <math>x^3+6x^2+3x-1=0</math>의 해라고 하자.
+:<math>2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0</math>
+:<math>2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0</math>
+:<math>2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0</math>
 ==4차식==
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 * [http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X%2884%2990077-5 The inner structure of the dilogarithm in algebraic fields]
 ** L. Lewin, 1984
-* [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa43/aa4326.pdf Special values of the dilogarithm function]
+* Loxton, J. H. 1984. “Special Values of the Dilogarithm Function.”Acta Arithmetica 43 (2): 155–166. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa43/aa4326.pdf
-** J. H. Loxton, 1984
 * [http://dx.doi.org/10.1017/S1446788700018747 The dilogarithm in algebraic fields]
 ** L. Lewin, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) (1982), 33 : 302-33
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 [[분류:다이로그]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1238449 Q1238449]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'polylogarithm'}]