"다이로그 항등식 (dilogarithm identities)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5 (.*)">” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==이 항목의 스프링노트 원문주소== | |
* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br> | * [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br> | ||
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
* [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)|로저스 dilogarithm]] <math>L(x)</math><br> | * [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)|로저스 dilogarithm]] <math>L(x)</math><br> | ||
| 18번째 줄: | 18번째 줄: | ||
| − | + | ==원분다항식과 dilogarithm 항등식== | |
* 원분다항식 (단위근에 대한 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]] 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)<br><math>\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}</math><br><math>e_i</math> 는 정수, <math>r</math>은 자연수<br> | * 원분다항식 (단위근에 대한 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]] 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)<br><math>\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}</math><br><math>e_i</math> 는 정수, <math>r</math>은 자연수<br> | ||
| 27번째 줄: | 27번째 줄: | ||
| − | + | ==유리수== | |
* 오일러<br><math>L(1)=\frac{\pi^2}{6}</math><br><math>-2L(-1)=L(1)</math><br><math>2L(\frac{1}{2})=L(1)</math><br> | * 오일러<br><math>L(1)=\frac{\pi^2}{6}</math><br><math>-2L(-1)=L(1)</math><br><math>2L(\frac{1}{2})=L(1)</math><br> | ||
| 37번째 줄: | 37번째 줄: | ||
| − | + | ==2차식== | |
* 란덴<br><math>5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)</math><br><math>5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)</math><br> | * 란덴<br><math>5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)</math><br><math>5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)</math><br> | ||
| 61번째 줄: | 61번째 줄: | ||
| − | + | ==4차식== | |
* Gordon & McIntosh<br><math>\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2</math> 는 방정식 <math>x^4+2x^3-x-1=0</math>의 해<br><math>5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0</math><br><math>L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0</math><br> | * Gordon & McIntosh<br><math>\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2</math> 는 방정식 <math>x^4+2x^3-x-1=0</math>의 해<br><math>5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0</math><br><math>L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0</math><br> | ||
| 69번째 줄: | 69번째 줄: | ||
| − | + | ==etc== | |
<math>\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}</math> | <math>\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}</math> | ||
| 81번째 줄: | 81번째 줄: | ||
| − | + | ==역사== | |
| 93번째 줄: | 93번째 줄: | ||
| − | + | ==메모== | |
| 99번째 줄: | 99번째 줄: | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]<br> | * [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]<br> | ||
| 122번째 줄: | 122번째 줄: | ||
| − | + | ==수학용어번역== | |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
| 135번째 줄: | 135번째 줄: | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| 150번째 줄: | 150번째 줄: | ||
| − | + | ==관련논문== | |
* [http://arxiv.org/abs/math.CA/9906134 A seventeenth-order polylogarithm ladder]<br> | * [http://arxiv.org/abs/math.CA/9906134 A seventeenth-order polylogarithm ladder]<br> | ||
| 180번째 줄: | 180번째 줄: | ||
| − | + | ==관련도서== | |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
| 194번째 줄: | 194번째 줄: | ||
| − | + | ==관련기사== | |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
| 205번째 줄: | 205번째 줄: | ||
| − | + | ==블로그== | |
* 구글 블로그 검색<br> | * 구글 블로그 검색<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 14:25 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 로저스 dilogarithm \(L(x)\)
- dilogarithm 항등식
대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식
\(\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\) - Polylogarithm ladders 으로 불리기도 한다
- 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
원분다항식과 dilogarithm 항등식
- 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)
\(\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\)
\(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수 - 대응되는 dilogarithm 항등식
\(\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\)
여기서 c 는 유리수
유리수
- 오일러
\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)
\(-2L(-1)=L(1)\)
\(2L(\frac{1}{2})=L(1)\) - Lewin
\(L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\)
\(L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\) - ???
\(2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)\)
2차식
- 란덴
\(5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\)
\(5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\) - 콕세터(1935)
\(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\) 는 황금비
\(L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}\)
\(L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)+\frac{7\pi^2}{10}\)
\(L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{\pi^2}{5}\) - Lewin
\(L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{\pi^2}{30}\) - Lewin
\(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)
\(L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\) - Browkin
\(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\), \(z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)
\(L(x^6)-6L(x^3)+L(x^2)+18L(x)=8L(1)\)
\(L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\) - 르장드르 카이 함수
\(L(\sqrt{2}-1)-4L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{\pi^2}{4}\)
\(L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-4L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=\frac{\pi^2}{3}\)
\(L(\sqrt{5}-2)-4L((\sqrt{5}-2)^2)=\frac{\pi^2}{6}\) - Loxton
\(x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
\(12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=\frac{5\pi^{2}}{6}\)
3차식
- 왓슨
\(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.
\(7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\)
\(7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\)
\(7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\) - Loxton & Lewin
\(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.
\(3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\)
\(3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\)
\(3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\) - Gordon & McIntosh
\(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.
\(2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\)
\(2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\)
\(2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\)
4차식
- Gordon & McIntosh
\(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해
\(5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\)
\(L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\)
etc
\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)
http://www.jstor.org/stable/2152925
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxODUxMjM0ZTctNWRlYS00NmMxLWJiZTItYjk0YTQ4YjA1YjBl&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
- http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- A seventeenth-order polylogarithm ladder
- David H. Bailey, David J. Broadhurst
- Algebraic Dilogarithm Identities
- Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997
- Dilogarithm identities
- Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
- Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras
- A. N. Kirillov, 1989
- The inner structure of the dilogarithm in algebraic fields
- L. Lewin, 1984
- Special values of the dilogarithm function
- J. H. Loxton, 1984
- The dilogarithm in algebraic fields
- L. Lewin, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A) (1982), 33 : 302-33
- A Note on Spence's Logarithmic Transcendent
- Watson, G. N., Quart. J. Math. Oxford Ser. 8, 39-42, 1937
- The functions of Schlafli and Lobatschefsky
- Coxeter, H.S.M. (1935), Quarterly Journal of Mathematics (Oxford) 6: 13–29
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-8.1.39
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)