다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여) 사용자의 2015년 5월 3일 (일) 19:13 판 (2차식)

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개요

\[\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\]

  • Polylogarithm ladder라 불리기도 한다
  • 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다


원분다항식과 dilogarithm 항등식

  • 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)\[\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\] 여기서 \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
  • 대응되는 dilogarithm 항등식\[\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\] 여기서 c 는 유리수



유리수

  • 오일러\[L(1)=\frac{\pi^2}{6}\]\[-2L(-1)=L(1)\]\[2L(\frac{1}{2})=L(1)\]
  • Lewin\[L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\]\[L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\]
  •  ???\[2 L\left(\frac{1}{p}\right)+\sum _{j=2}^{p-1} L\left(\frac{1}{j^2}\right)=L(1)\]



2차식

\[5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\]\[5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\]

  • 콕세터(1935) \(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\)라 두자

\[L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7}{5}L(1)\] \[L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)-\frac{21}{5}L(1)\] \[L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{6}{5}L(1)\]

  • Lewin

\[L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{1}{5}L(1)\]

  • Lewin

\[L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)

  • Browkin

\[L(x^6)-6L(x^3)+3L(x^2)+18L(x)=8L(1)\] \[L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\] 여기서 \(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}, z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)

\[4L(\sqrt{2}-1)-L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{3}{2}L(1)\] \[4L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=2L(1)\] \[4L(\sqrt{5}-2)-L((\sqrt{5}-2)^2)=L(1)\]

  • Loxton

\[12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=5L(1)\] \[12L(\gamma)-9L(\gamma^{2})-2L(\gamma^{3})+L(\gamma^6)=3L(1)\] 여기서 \(\beta=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\gamma=\sqrt{3}-1\).

3차식

  • 왓슨 \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\[7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\] \[7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\] \[7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\]

  • Loxton & Lewin \(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.

\[3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\] \[3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\] \[3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\]

  • Gordon & McIntosh \(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.

\[2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\] \[2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\] \[2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\]

4차식

  • Gordon & McIntosh \(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해\[5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\]\[L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\]



etc

\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)

http://www.jstor.org/stable/2152925




역사



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



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