다이로그 항등식 (dilogarithm identities)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 6월 11일 (토) 09:56 판
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개요
  • 로저스 dilogarithm \(L(x)\)
  • dilogarithm 항등식
    대수적수 \(x_i\)와 유리수 \(c\)에 대한 다음과 같은 형태의 항등식
    \(\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)\)
  • Polylogarithm ladders 으로 불리기도 한다
  • 모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다

 

 

원분다항식과 dilogarithm 항등식
  • 원분다항식 (단위근에 대한 원분다항식(cyclotomic polynomial) 과는 의미가 다르나 이미 용어가 굳어져 널리 사용됨)
    \(\prod_{r}(1-x^r)^{e_r}=x^{e_0}\)
    \(e_i\) 는 정수, \(r\)은 자연수
  • 대응되는 dilogarithm 항등식
    \(\sum_{r}\frac{e_r}{r}L(x^r)=cL(1)\)
    여기서 c 는 유리수

 

 

유리수
  • 오일러
    \(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)
    \(-2L(-1)=L(1)\)
    \(2L(\frac{1}{2})=L(1)\)
  • Lewin
    \(L(\frac{1}{2^6})-2L(\frac{1}{2^3})-6L(\frac{1}{2^2})+2L(1)=0\)
    \(L(\frac{1}{3^2})-6L(\frac{1}{3})+2L(1)=0\)
  • Kir
     

 

 

2차식
  • 란덴
    \(5L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=2L(1)\)
    \(5L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=3L(1)\)
  • 콕세터(1935)
    \(\rho=\tfrac{1}{2}(\sqrt{5}-1)\) 는 황금비
    \(L(\rho^6)=4L(\rho^3)+3L(\rho^2)-6L(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}\)
    \(L(\rho^{12})=2L(\rho^6)+3L(\rho^4)+4L(\rho^3)-6L(\rho^2)+\frac{7\pi^2}{10}\)
    \(L(\rho^{20})=2L(\rho^{10})+15L(\rho^4)-10L(\rho^2)+\frac{\pi^2}{5}\)
  • Lewin
    \(L(\rho^{24})=6L(\rho^{8})+8L(\rho^6)-6L(\rho^4)+\frac{\pi^2}{30}\)
  • Lewin
    \(x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\)
    \(L(x^6)-4L(x^3)-6L(x^2)+24L(x)=7L(1)\)
  • Browkin
    \(x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\), \(z=\frac{\sqrt{13}+1}{6}\)
    \(L(x^6)-6L(x^3)+L(x^2)+18L(x)=8L(1)\)
    \(L(z^6)-3L(z^3)-6L(z^2)+9L(z)=2L(1)\)
  • 르장드르 카이 함수
    \(L(\sqrt{2}-1)-4L((\sqrt{2}-1)^2)=\frac{\pi^2}{4}\)
    \(L(\frac{\sqrt{5}-1}{2})-4L((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)=\frac{\pi^2}{3}\)
    \(L(\sqrt{5}-2)-4L((\sqrt{5}-2)^2)=\frac{\pi^2}{6}\)
  • Loxton
    \(x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
    \(12L(\beta)+3L(\beta^{2})-2L(\beta^{3})=\frac{5\pi^{2}}{6}\)

 

 

3차식
  • 왓슨
    \(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.
    \(7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\)
    \(7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\)
    \(7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\)
  • Loxton & Lewin
    \(x, -y, -z^{-1}\)가 방정식 \(x^3+3x^2-1=0\)의 해라고 하자.
    \(3L(x^3)-9L(x^2)-9L(x)+7L(1)=0\)
    \(3L(y^6)-6L(y^3)-27L(y^2)+18L(y)+2L(1)=0\)
    \(3L(z^6)-6L(z^3)-27L(z^2)+18L(z)-2L(1)=0\)
  • Gordon & McIntosh
    \(a, -b, -c^{-1}\)가 방정식 \(x^3+6x^2+3x-1=0\)의 해라고 하자.
    \(2L(a^3)-2L(a^2)-11L(a)+3L(1)=0\)
    \(2L(b^6)-4L(b^3)-15L(b^2)+22L(b)-6L(1)=0\)
    \(2L(c^6)-4L(c^3)-15L(c^2)+22L(c)-4L(1)=0\)
     

 

 

4차식
  • Gordon & McIntosh
    \(\delta=(\sqrt{3+2\sqrt{5}}-1)/2\) 는 방정식 \(x^4+2x^3-x-1=0\)의 해
    \(5L(\delta^3)-5L(\delta)+L(1)=0\)
    \(L(\delta^{12})-2L(\delta^6)-6L(\delta^4)+4L(\delta^3)+3L(\delta^2)+4L(\delta)-4L(1)=0\)

 

 

etc

\(\sum_{i=1}^{k}L(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}})=\frac{3k}{k+2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\)

http://www.jstor.org/stable/2152925

 

 

 

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