다항식의 판별식(discriminant)

수학노트
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개요

2차식의 판별식

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\]

\[\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\] 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.

  • 행렬식 $b^2-ac$는 이차형식이며, 다음의 대칭행렬에 대응된다

$$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

3차식의 판별식

  • 다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
  • 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\]
  • 근과 계수와의 관계 에 따라\[x_1+x_2+x_3=0\]\[x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\]\[x_1 x_2 x_3=-b\]
  • 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자\[x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\]\[x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\]\[x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\]
  • 위의 행렬은\[\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\] 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다


역사



메모



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