대수적다양체의 제타함수

개요

• 유한체 \(\mathbb{F}_q\) (\(q=p^n\)) 에서 정의된 사영다양체의 해의 개수에 대한 생성함수

로컬 제타함수

• \(N_r\) 이 \(\mathbb{F}_{q^r}\) 에서의 해의 개수라 하면

\[Z(T,\mathbb{F}_{q})=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})\]

• 소수 \(p\)의 경우 다음과 같이 쓰기도 함

\[Z_p(T):=Z(T,\mathbb{F}_p)\]

• \(T=q^{-s}\) 로 쓰면, \(L\)-함수의 로컬인자들을 얻는다

예

• 사영 직선\[N_m = q^m + 1\]

\[Z(T)=\frac{1}{(1 - T)(1- qT)}\]

• \(X_0^2=X_1^2+X_2^2\)\[Z(T)=\frac{1}{(1 - T)(1- qT)}\]
• non-singular 타원곡선 (over \(\mathbb{F}_p\))

\[Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\] 여기서 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\)

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 타원곡선
• 타원곡선 y²=x³-x

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjectures
• http://en.wikipedia.org/wiki/Local_zeta_function

관련논문

• Koblitz, Neal. 1982. Why Study Equations over Finite Fields? Mathematics Magazine 55, no. 3 (May 1): 144-149. doi:10.2307/2690080.
• Atiyah, M. F. 1976. “Bakerian Lecture, 1975: Global Geometry”. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 347 (1650) (1월 13): 291-299 http://www.jstor.org/stable/78966

관련도서

• p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function
  • Neal Koblitz, Springer, 1996