"대수적 위상수학"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 요약</h5>
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==개요==
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* 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
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* 곡면의 분류 정리, fundamental group, [[덮개 공간 (covering space)]], 호몰로지 등을 공부함
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* 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.
  
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* 대수적인 언어를 통해 위상적인 공간을 들여다 보는 법을 배움.
 
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* 곡면의 분류 정리, fundamental group, covering space, 호몰로지 등을 공부함
 
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* 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적 불변량을 찾음.
 
  
 
 
 
 
  
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<h5>선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들==
  
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*  기초적인 일반위상수학<br>
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*  기초적인 일반위상수학
 
** product space
 
** product space
 
** quotient space
 
** quotient space
 
** 연결, 컴팩트
 
** 연결, 컴팩트
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* 추상대수학<br>
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* [[추상대수학]]
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** 군론
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** 군의 정의
 
** 유한생성아벨군의 기본정리
 
** 유한생성아벨군의 기본정리
  
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<h5>다루는 대상</h5>
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==다루는 대상==
  
 
* 곡면
 
* 곡면
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<h5>중요한 개념 및 정리</h5>
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==중요한 개념 및 정리==
  
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* 오일러의 정리<br>
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* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2|오일러의 정리]]<br>
 
** V-E+F = 2- 2g
 
** V-E+F = 2- 2g
 
*  곡면의 분류 정리<br>
 
*  곡면의 분류 정리<br>
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*** 종수,orientability, 경계의 개수
 
*** 종수,orientability, 경계의 개수
 
*  호모토피<br>
 
*  호모토피<br>
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** 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말하고, 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부르며, 호모토픽한 루프들의 모임을
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** 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.<br>
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** 공간에 있는 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
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*** 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
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** 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
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[[파일:1954084-180px-Homotopy_between_two_paths.png]]
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*  fundamental group<br>
 
*  fundamental group<br>
 
** 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
 
** 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
 
** 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
 
** 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
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** 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스가 얼마나 큰 지를 재어준다.
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** 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
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** 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
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** 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
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** 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
 
*  단일연결된 공간(simply connected space)<br>
 
*  단일연결된 공간(simply connected space)<br>
 
**  모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.<br>
 
**  모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.<br>
 
*** 구면은 단일연결되어있음.
 
*** 구면은 단일연결되어있음.
 
*** 도넛은 단일연결되어있지 않음.
 
*** 도넛은 단일연결되어있지 않음.
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** 포앵카레의 추측
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** [[푸앵카레의 추측|포앵카레의 추측]]
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* covering space
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* [[덮개 공간 (covering space)]]
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* [[보편 덮개 (universal covering)]]
 
* Hairy ball theorem
 
* Hairy ball theorem
 
* 호몰로지
 
* 호몰로지
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<h5>유명한 정리 혹은 생각할만한 문제</h5>
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==곡면의 fundamental group==
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* 종수가 <math>g</math>인 닫힌 곡면의 fundamental group
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<math>\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!</math>
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==유명한 정리 혹은 생각할만한 문제==
  
 
* 포앵카레-호프 정리
 
* 포앵카레-호프 정리
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* 브라우저 부동점 정리
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* [[브라우어 부동점 정리]]
 
* 레프쉐츠 부동점 정리
 
* 레프쉐츠 부동점 정리
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<h5>다른 과목과의 관련성</h5>
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==다른 과목과의 관련성==
  
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* [[search?q=%EC%9D%BC%EB%B0%98%EC%9C%84%EC%83%81%EC%88%98%ED%95%99&parent id=1954084|일반위상수학]]
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* [[일반위상수학]]
 
* [[다변수미적분학]]<br>
 
* [[다변수미적분학]]<br>
 
** 벡터장
 
** 벡터장
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* [[복소함수론]]<br>
 
* [[복소함수론]]<br>
 
** [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Uniformization theorem]] 과 단일연결된 상수곡률곡면
 
** [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Uniformization theorem]] 과 단일연결된 상수곡률곡면
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** 호모토피
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** 호모토피와 코쉬정리
 
** 모노드로미
 
** 모노드로미
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** covering space
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* [[추상대수학]]<br>
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**  군론<br>
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*** fundamental group
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*** covering space의 deck transformation group
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**  유한생성 아벨군의 기본정리<br>
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*** 호몰로지를 이해하기 위해 필요
  
 
 
 
 
  
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<h5>관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들</h5>
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==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들==
  
 
* 대학원 수준의 대수적위상수학
 
* 대학원 수준의 대수적위상수학
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*  리만곡면론<br>
 
*  리만곡면론<br>
 
** Branched covering
 
** Branched covering
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<h5>표준적인 교과서</h5>
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==표준적인 교과서==
  
 
 
 
 
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<h5>추천도서 및 보조교재</h5>
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==추천도서 및 보조교재==
  
 
* [http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277 Algebraic Topology]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277 Algebraic Topology]<br>
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** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
 
** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* López, Rafael. “How Does a Topologist Classify the Letters of the Alphabet?” arXiv:1410.3364 [math], October 9, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.3364.
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* Peter Hilton, [http://www.jstor.org/stable/2689545 A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century], <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291
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==관련논문==
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* Gugnin, Dmitry V. ‘On Integral Cohomology Ring of Symmetric Products’. arXiv:1502.01862 [math], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.01862.
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2317755 A Note on the Universal Covering Space of a Surface]<br>
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[[분류:교과목]]
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** G. W. Knutson
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 78, No. 5 (May, 1971), pp. 505-509
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2319885 Covering Spaces of Algebraic Groups]<br>
 
−
** Andy R. Magid
 
−
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 83, No. 8 (Oct., 1976), pp. 614-621
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2689545 A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century]<br>
 
−
** Peter Hilton
 
−
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291
 

2015년 2월 24일 (화) 16:37 판

개요

  • 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
  • 곡면의 분류 정리, fundamental group, 덮개 공간 (covering space), 호몰로지 등을 공부함
  • 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.


 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

  • 기초적인 일반위상수학
    • product space
    • quotient space
    • 연결, 컴팩트
  • 추상대수학
    • 군의 정의
    • 유한생성아벨군의 기본정리

 

 

다루는 대상

  • 곡면
  • Simplicial complex

 

 

중요한 개념 및 정리

  • 오일러의 정리
    • V-E+F = 2- 2g
  • 곡면의 분류 정리
    • 컴팩트 곡면
      • 종수와 orientability
    • 경계가 있는 곡면
      • 종수,orientability, 경계의 개수
  • 호모토피
    • 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
      • 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
    • 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

1954084-180px-Homotopy between two paths.png

  • fundamental group
    • 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
    • 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
    • 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
    • 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
    • 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
    • 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
  • 단일연결된 공간(simply connected space)
    • 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
      • 구면은 단일연결되어있음.
      • 도넛은 단일연결되어있지 않음.
    • 포앵카레의 추측
  • 덮개 공간 (covering space)
  • 보편 덮개 (universal covering)
  • Hairy ball theorem
  • 호몰로지

 

 

곡면의 fundamental group

  • 종수가 \(g\)인 닫힌 곡면의 fundamental group

\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)

 

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

 

다른 과목과의 관련성

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • 대학원 수준의 대수적위상수학
  • 벡터번들
  • 호몰로지 대수
  • Characteristic class
  • 리만곡면론
    • Branched covering

 

표준적인 교과서

 

 

추천도서 및 보조교재

 

 

리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

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