대수적 위상수학

개요

• 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
• 곡면의 분류 정리, fundamental group, 덮개 공간 (covering space), 호몰로지 등을 공부함
• 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 기초적인 일반위상수학
  • product space
  • quotient space
  • 연결, 컴팩트
• 추상대수학
  • 군의 정의
  • 유한생성아벨군의 기본정리

 

 

다루는 대상

• 곡면
• Simplicial complex

 

 

중요한 개념 및 정리

• 오일러의 정리
  
  • V-E+F = 2- 2g
• 곡면의 분류 정리
  
  • 컴팩트 곡면
    
    • 종수와 orientability
  • 경계가 있는 곡면
    
    • 종수,orientability, 경계의 개수
• 호모토피
  
  • 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
    
    • 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
  • 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

• fundamental group
  
  • 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
  • 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
  • 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
  • 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
  • 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
  • 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
• 단일연결된 공간(simply connected space)
  
  • 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
    
    • 구면은 단일연결되어있음.
    • 도넛은 단일연결되어있지 않음.
  • 포앵카레의 추측
• 덮개 공간 (covering space)
• 보편 덮개 (universal covering)
• Hairy ball theorem
• 호몰로지

 

 

곡면의 fundamental group

• 종수가 \(g\)인 닫힌 곡면의 fundamental group

\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)

 

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 포앵카레-호프 정리
• 브라우어 부동점 정리
• 레프쉐츠 부동점 정리

 

다른 과목과의 관련성

• 일반위상수학
• 다변수미적분학
  
  • 벡터장
  • 선적분
    
    • 어떤 벡터장의 선적분이 경로에 의존하는가 하지 않는가의 문제와 밀접하게 관련
  • 포앵카레 보조정리
• 미분기하학
  
  • 가우스-보네 정리
• 복소함수론
  
  • Uniformization theorem 과 단일연결된 상수곡률곡면
  • 호모토피와 코쉬정리
  • 모노드로미
• 추상대수학
  
  • 군론
    
    • fundamental group
    • covering space의 deck transformation group
  • 유한생성 아벨군의 기본정리
    
    • 호몰로지를 이해하기 위해 필요

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 대학원 수준의 대수적위상수학
• 벡터번들
• 호몰로지 대수
• Characteristic class
• 리만곡면론
  
  • Branched covering

 

 

 

추천도서 및 보조교재

• Algebraic Topology
  
  • W. Fulton
  • 표준적인 대수적 위상수학 교과서라 할 수는 없으나, 대수적위상수학의 중요한 개념들을 리만곡면론을 비롯한 실전에 적용하는 형태로 배울수 있음.
• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  
  • David S. Richeson
  • 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.

 

 

리뷰, 에세이, 강의노트

• López, Rafael. “How Does a Topologist Classify the Letters of the Alphabet?” arXiv:1410.3364 [math], October 9, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.3364.
• Peter Hilton, A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291

관련논문

• Gugnin, Dmitry V. ‘On Integral Cohomology Ring of Symmetric Products’. arXiv:1502.01862 [math], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.01862.