대수적 함수와 아벨적분

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• 대수적 함수와 아벨적분
  

 

 

 

 

초등함수와 덧셈 정리

• 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
  \(\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\)
  \(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
  \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \)
  
• 탄젠트/아크탄젠트 함수 덧셈정리의 적분표현
  \(\tan(\theta_1+\theta_2)=\frac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}\)
  \(\arctan x+\arctan y = \arctan{\frac{x+y}{1-xy}}\)
  \(\int_0^x \frac{dx}{1+x^2} + \int_0^y \frac{dx}{1+x^2} = \int_0^{\frac{x+y}{1-xy}} \frac{dx}{1+x^2}\)
  

• 지수/로그함수 덧셈정리의 적분표현
  \(e^x e^y= e^{x+y}\)
  \(\ln x + \ln y= \ln xy\)
  \(\int_{1}^{x} \frac{dx}{x}+\int_{1}^{y} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{xy} \frac{dx}{x}\)
  

 

 

타원적분과 덧셈정리

• 다음과 같은 형태의 적분을 타원적분이라 함
  

\(\int R(x,y)\,dx\)

여기서 \(R(x,y)\)는 \(x,y\)의 유리함수, \(y^2\)= 중근을 갖지 않는 \(x\)의 3차식 또는 4차식.

 

• 타원적분의 덧셈정리(오일러)
  \(p(x)=1+mx^2+nx^4\)일 때,
  \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx\)
  여기서 \(B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}\)
  

• 타원적분 항목 참조
  

 

 

아벨-야코비 정리

• 정의
  \(H_1(C, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)를 생성하는 2g 개의 닫힌 곡선 \(\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}\)
  \(H^0(C, K) \cong \mathbb{C}^g\)를 생성하는 g개의 holomorphic 1-form
  각 곡선에 대하여, \(\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g\)는 rank가 2g인 격자를 생성
  

• 아벨-야코비 사상
  \(u \colon C \to J(C), u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda.\)
  

• u는 degree가 0인 divisor 에 대하여 정의되는 함수로 확장된다
  
• u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 대한 덧셈정리의 일반화이며 아벨의 정리라 볼 수 있다
  
• u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다
  
• 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

메모

When I was a student, abelian functions were, as an effect of the Jacobian tradition, considered the uncontested summit of mathematics and each of us was ambitious to make progress in this field. And now? The younger generation hardly knows abelian functions.
How did this happen? In mathematics, as in other sciences, the same processes can be observed again and again. First, new questions arise, for internal or external reasons, and draw researchers away from the old questions. And the old questions, just because they have been worked on so much, need ever more comprehensive study for their mastery. This is unpleasant, and so one is glad to turn to problems that have been less developed and therefore require less foreknowledge - even if it is only a matter of axiomatics, or set theory, or some such thing.
Felix Klein (1849-1925), Development of Mathematics in the 19th Century, 1928

 

 

관련된 항목들

• periods
  
• 타원곡선의 주기
  
• 타원곡선 y^2=x^3-x
  
• 아벨
  
• 야코비(1804 – 1851)
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

•  
  
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Jacobi_map
• http://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_integral
• http://mathworld.wolfram.com/AbelianIntegral.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서 및 추천도서

•  
  
• A. Markushevich, Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions