대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식

개요

슈르 다항식(Schur polynomial)을 이용하여, 대칭군 (symmetric group)의 지표를 계산하는 방법
$S_m$의 기약표현은 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)과 일대일대응된다
m의 분할 $\lambda$에 대응되는 $S_m$의 기약표현의 지표를 $\chi_{\lambda}$ 로 나타내자
$C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})$를 $i_1+2i_2+\cdots mi_m=m$를 만족시키는 대칭군 $S_m$의 공액류라 하면, $\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})$ 프로베니우스 공식으로 얻을 수 있다

\[\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}\]
여기서 $S_{\lambda}$ 는 슈르 다항식(Schur polynomial)

다음과 같이 표현하기도 한다

\[\prod_{j}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x)\]

$S_3$의 예

대칭군 $S_3$ 의 character table

\begin{array}{c|ccc} & \{1^3\} & \{1^1,2^1\} & \{3^1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 2 & 0 & -1 \\ \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1 \end{array}

$S_{(3)}=x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right)$

$S_{(2,1)}=\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right)$

$S_{(1,1,1)}=x_1 x_2 x_3$

$S_{(3)}+2S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3$

$S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)$

$S_{(3)}-1S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=x_1^3+x_2^3+x_3^3$

$S_4$의 예

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccc} & \{1^4\} & \{1^2,2^1\} & \{1^1,3^1\} & \{2^2\} & \{4^1\} \\ \hline \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{3,1\} & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ \{2,2\} & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,1,1\} & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

$S_5$의 예

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccc} & \{1^5\} & \{1^3,2^1\} & \{1^2,3^1\} & \{1^1,2^2\} & \{1^1,4^1\} & \{2^1,3^1\} & \{5^1\} \\ \hline \{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{4,1\} & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ \{3,2\} & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \{3,1,1\} & 6 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \{2,2,1\} & 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \{2,1,1,1\} & 4 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \{1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}

$S_6$의 예

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccccccc} & \{1^6\} & \{1^4,2^1\} & \{1^3,3^1\} & \{1^2,2^2\} & \{1^2,4^1\} & \{1^1,2^1,3^1\} & \{1^1,5^1\} & \{2^3\} & \{2^1,4^1\} & \{3^2\} & \{6^1\} \\ \hline \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{5,1\} & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \{4,2\} & 9 & 3 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ \{4,1,1\} & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ \{3,3\} & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & -3 & -1 & 2 & 0 \\ \{3,2,1\} & 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ \{3,1,1,1\} & 10 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ \{2,2,2\} & 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,2,1,1\} & 9 & -3 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ \{2,1,1,1,1\} & 5 & -3 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

$S_7$의 예

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccccccccccc} & \{1^7\} & \{1^52^1\} & \{1^43^1\} & \{1^32^2\} & \{1^34^1\} & \{1^22^13^1\} & \{1^25^1\} & \{1^12^3\} & \{1^12^14^1\} & \{1^13^2\} & \{1^16^1\} & \{2^23^1\} & \{2^15^1\} & \{3^14^1\} & \{7^1\} \\ \hline \{7\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{6,1\} & 6 & 4 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \{5,2\} & 14 & 6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \{5,1,1\} & 15 & 5 & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 & -3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ \{4,3\} & 14 & 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ \{4,2,1\} & 35 & 5 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ \{4,1,1,1\} & 20 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ \{3,3,1\} & 21 & 1 & -3 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \{3,2,2\} & 21 & -1 & -3 & 1 & 1 & -1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \{3,2,1,1\} & 35 & -5 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ \{3,1,1,1,1\} & 15 & -5 & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{2,2,2,1\} & 14 & -4 & -1 & 2 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ \{2,2,1,1,1\} & 14 & -6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ \{2,1,1,1,1,1\} & 6 & -4 & 3 & 2 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ \{1,1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}

역사

메모

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수학용어번역

공액류, conjugacy class
지표, character - 대한수학회 수학용어집
켤레변형, 공액연산자, conjugacy - 대한수학회 수학용어집
류, class - 대한수학회 수학용어집

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리뷰논문, 에세이, 강의노트

http://mathematicalgemstones.wordpress.com/2012/05/21/characters-of-the-symmetric-group/