대칭군의 표현론

개요

• 대칭군 (symmetric group) \(S_m\)의 기약표현은 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)과 일대일대응된다
• 갈고리 길이 공식 (hook length formula)
  • 주어진 영 다이어그램에 대한 표준 영 태블로의 개수를 세는 공식
  • 영 다이어그램에 대응되는 \(S_m\)의 기약 표현의 차원을 얻는다
• 대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식
• m의 분할 \(\lambda\)에 대응되는 \(S_m\)의 기약표현의 지표를 \(\chi_{\lambda}\) 로 나타내자
• 방정식 \(i_1+2i_2+\cdots mi_m=m\), \(i_k\ge 0, i_k\in \mathbb{Z}\)의 해는 대칭군 \(S_m\)의 공액류 \(C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})\)와 대응된다

예

• 대칭군 S3

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 슈르 다항식(Schur polynomial)
• 영 태블로(Young tableau)
• 코스트카 수 (Kostka number)
• 일반 선형군의 표현론
• 거듭제곱 텐서곱의 분해

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• http://oeis.org/A117506
• PERMS
  • http://www.fiemath.de/pnbks.htm
  • http://www.fiemath.de/permsman.htm

관련도서

• Sagan, Bruce E. 2001. The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions. Springer.

리뷰, 에세이, 강의노트

• Borie, Nicolas. “Effective Invariant Theory of Permutation Groups Using Representation Theory.” arXiv:1511.00954 [math] 9270 (2015): 58–69. doi:10.1007/978-3-319-23021-4_6.
• Crisman, Karl-Dieter, and Michael E. Orrison. “Representation Theory of the Symmetric Group in Voting Theory and Game Theory.” arXiv:1508.05891 [cs, Math], August 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05891.
• Kleshchev, Alexander. 2014. “Ess’en Lectures: Representation Theory of Symmetric Groups.” arXiv:1401.6156 [math]. http://arxiv.org/abs/1401.6156.
• Sagan, Representations and symmetric functions (MSRI lectures)
• Cioppa, The Modern Representation Theory of the Symmetric Groups
• Cossey, Irreducible representations of the symmetric group 슬라이드
• Zhao, Young Tableaux and the Representations of the Symmetric Group
• Brachey, Schur polynomials and the irreducible representations of \(S_n\)

관련논문

• Arvind Ayyer, Amritanshu Prasad, Steven Spallone, Representations of symmetric groups with non-trivial determinant, arXiv:1604.08837 [math.RT], April 29 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08837
• Ding, Shanshan. “Tensor Powers of the Defining Representation of \(S_n\).” arXiv:1508.05433 [math], August 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05433.