"대칭 겹선형 형식과 이차형식"의 두 판 사이의 차이

2014년 4월 19일 (토) 20:29 판

개요

겹선형 형식(bilinear form)의 특수한 경우
체 위에서 정의된 이차형식
- 등방 형식(isotropic form)의 판정
- 이차형식의 분류문제
- 유리계수 이차형식과 local-global 원리
정수계수 이차형식
- indefinite form의 분류
- positive definite 이차형식의 분류는 매우 어려운 문제
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
- 정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

다루는 대상

이차형식

중요한 개념 및 정리

이차형식의 대각화
등방형식, 비등방형식
Witt ring
Brauer group
local-global principle
proper equivalence
genus
spinor genus

예

체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능
다음의 행렬에 대응되는 유리계수 이차형식을 생각하자

$$ B=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 4 \end{array} \right) , \quad S=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 66 & 0 \\ 0 & 0 & 3201 \end{array} \right) $$

다음이 성립한다

$$ P^{T}BP=S $$ 여기서 $$ P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 17 \\ 0 & 0 & 33 \\ 0 & 2 & -13 \end{array} \right). $$

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

실계수 이차형식의 분류
- 대칭행렬의 대각화 항목 참조
- 실베스터의 inertia 정리
Hermite, Minkowski 바운드
유리계수 이차형식의 분류

다른 과목과의 관련성

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMUZVdjdtNVVpRTg/edit

수학용어번역

equivalent - 대한수학회 수학용어집
isotropic - 대한수학회 수학용어집
- 등방성의

표준적인 교과서

Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
- 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
- 나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.
Sphere Packings, Lattices and Groups (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
- John Horton Conway, Neil J. A. Sloane
- 이 분야의 가장 표준적인 도서

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 ** 등방 형식(isotropic form)의 판정
 ** 이차형식의 분류문제
-** local-global 원리
+** [[유리계수 이차형식]]과 local-global 원리
-* [[정수계수 이차형식]]을 분류함
+* [[정수계수 이차형식]]
 ** indefinite form의 분류
 ** positive definite 이차형식의 분류는 매우 어려운 문제