"대칭 겹선형 형식과 이차형식"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 요약</h5>
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==개요==
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* [[겹선형 형식(bilinear form)]]의 특수한 경우
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*  체 위에서 정의된 이차형식을 분류함<br>
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*  체 위에서 정의된 이차형식
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** 특별히 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류문제
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** 등방 형식(isotropic form)의 판정
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* 정수계수 이차형식을 분류함<br>
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** 이차형식의 분류문제
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** [[유리계수 이차형식]]과 local-global 원리
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* [[정수계수 이차형식]]
 
** indefinite form의 분류
 
** indefinite form의 분류
 
** positive definite 이차형식의 분류는 매우 어려운 문제
 
** positive definite 이차형식의 분류는 매우 어려운 문제
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** [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
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** [[정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)]]
  
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<h5>선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들==
  
 
* [[선형대수학]]
 
* [[선형대수학]]
 
* [[추상대수학]]
 
* [[추상대수학]]
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* [[p진해석학(p-adic analysis)|p-adic fields]]
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* [[p진해석학(p-adic analysis)]]
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* p진 체
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<h5>다루는 대상</h5>
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* 이차형식
 
* 이차형식
  
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<h5>중요한 개념 및 정리</h5>
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==중요한 개념 및 정리==
  
 
* 이차형식의 대각화
 
* 이차형식의 대각화
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* 등방형식, 비등방형식
 
* Witt ring
 
* Witt ring
 
* Brauer group
 
* Brauer group
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* local-global principle
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* proper equivalence
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* genus
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===예===
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* 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능
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* 다음의 행렬에 대응되는 유리계수 이차형식을 생각하자
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B=\left(
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<h5>유명한 정리 혹은 재미있는 문제</h5>
 
  
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*  실수계수 이차형식의 분류<br>
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==유명한 정리 혹은 재미있는 문제==
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** 실베스터의 intertia 정리
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*  실계수 이차형식의 분류
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** [[대칭행렬의 대각화]] 항목 참조
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** 실베스터의 inertia 정리
 
* Hermite, Minkowski 바운드
 
* Hermite, Minkowski 바운드
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* [[유리계수 이차형식]]의 분류
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==역사==
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* Herrmann Minkowski (1864 - 1909)
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* Helmut Hasse (1898 - 1979)
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* Carl Ludwig Siegel (1896 - 1982)
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* Ernst Witt (1911 - 1991)
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* Martin Eichler (1912 - 1992)
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* Martin Kneser (1928 - 2004)
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<h5>다른 과목과의 관련성</h5>
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==다른 과목과의 관련성==
  
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* [[이차곡선과 회전변환]]
 
* [[다변수미적분학]]
 
* [[다변수미적분학]]
 
* [[선형대수학]]
 
* [[선형대수학]]
 
* [[초등정수론]]
 
* [[초등정수론]]
 
* [[코딩이론]]
 
* [[코딩이론]]
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* [[고차형식]]
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==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들==
  
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* [[Kissing number and sphere packings]]
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* [[ADE의 수학]]
  
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<h5>관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMUZVdjdtNVVpRTg/edit
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==수학용어번역==
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* {{수학용어집|url=signature}}, 부호(차)수
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* {{수학용어집|url=equivalent}}, 동치(인), 등가(인)
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* {{수학용어집|url=isotropic}}, 등방성의
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==표준적인 교과서==
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* Serre, J.-P. 1973. [http://www.amazon.com/Course-Arithmetic-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387900403 A Course in Arithmetic]. Springer.
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** 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
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** 나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.
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* [http://www.amazon.com/Packings-Lattices-Grundlehren-mathematischen-Wissenschaften/dp/0387985859 Sphere Packings, Lattices and Groups] (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
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** John Horton Conway, Neil J. A. Sloane
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** 이 분야의 가장 표준적인 도서
  
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<h5>표준적인 교과서</h5>
 
  
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* [http://www.amazon.com/Course-Arithmetic-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387900403 A Course in Arithmetic]<br>
 
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** Jean Pierre Serre<br>
 
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**  책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함<br>
 
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**  나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.<br>
 
  
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==추천도서 및 보조교재==
  
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* [http://www.amazon.com/Symmetric-bilinear-Ergebnisse-Mathematik-Grenzgebiete/dp/038706009X Symmetric bilinear forms] (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete)
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**  John Willard Milnor and Dale Husemoller
  
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<h5>추천도서 및 보조교재</h5>
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* [http://www.amazon.com/Symmetric-bilinear-Ergebnisse-Mathematik-Grenzgebiete/dp/038706009X Symmetric bilinear forms] (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete) <br>
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==관련논문==
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**  John Willard Milnor and Dale Husemoller
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* Anish Ghosh, Dubi Kelmer, A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms, arXiv:1606.02388 [math.NT], June 08 2016, http://arxiv.org/abs/1606.02388
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*  
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* http://arxiv.org/abs/1511.03022
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Scharlau, Rudolf. "[http://www.matha.mathematik.uni-dortmund.de/~scharlau/research/preprints/2009_scharlau_on_kneser.pdf Martin Kneser's work on quadratic forms and algebraic groups]." Contemporary Mathematics 493 (2009): 339.
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** [http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~scharlau/research/talks/scharlau-qfc2007.pdf 슬라이드]
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* [http://www.jstor.org/stable/2690888 On the Diagonalization of Quadratic Forms]
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** T. Y. Lam, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 72, No. 3 (Jun., 1999), pp. 231-235
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[[분류:교과목]]
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[[분류:정수론]]
  
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<h5>참고할만한 도서 및 자료</h5>
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== 메모 ==
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2690888 On the Diagonalization of Quadratic Forms]<br>
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* Jean Bourgain, A quantitative Oppenheim Theorem for generic diagonal quadratic forms, arXiv:1604.02087[math.NT], April 07 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02087v1
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**  T. Y. Lam<br>
 
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** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 72, No. 3 (Jun., 1999), pp. 231-235<br>
 

2016년 6월 8일 (수) 22:08 판

개요


선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들


다루는 대상

  • 이차형식


중요한 개념 및 정리

  • 이차형식의 대각화
  • 등방형식, 비등방형식
  • Witt ring
  • Brauer group
  • local-global principle
  • proper equivalence
  • genus
  • spinor genus

예

  • 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능
  • 다음의 행렬에 대응되는 유리계수 이차형식을 생각하자

$$ B=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 4 \end{array} \right) , \quad S=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 66 & 0 \\ 0 & 0 & 3201 \end{array} \right) $$

  • 다음이 성립한다

$$ P^{T}BP=S $$ 여기서 $$ P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 17 \\ 0 & 0 & 33 \\ 0 & 2 & -13 \end{array} \right). $$


유명한 정리 혹은 재미있는 문제


역사

  • Herrmann Minkowski (1864 - 1909)
  • Helmut Hasse (1898 - 1979)
  • Carl Ludwig Siegel (1896 - 1982)
  • Ernst Witt (1911 - 1991)
  • Martin Eichler (1912 - 1992)
  • Martin Kneser (1928 - 2004)


다른 과목과의 관련성

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • signature - 대한수학회 수학용어집, 부호(차)수
  • equivalent - 대한수학회 수학용어집, 동치(인), 등가(인)
  • isotropic - 대한수학회 수학용어집, 등방성의


표준적인 교과서

  • Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
    • 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
    • 나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.
  • Sphere Packings, Lattices and Groups (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
    • John Horton Conway, Neil J. A. Sloane
    • 이 분야의 가장 표준적인 도서


추천도서 및 보조교재


관련논문

리뷰, 에세이, 강의노트

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