대칭 겹선형 형식과 이차형식

개요

• 겹선형 형식(bilinear form)의 특수한 경우
• 체 위에서 정의된 이차형식
  • 등방 형식(isotropic form)의 판정
  • 이차형식의 분류문제
  • 유리계수 이차형식과 local-global 원리
• 정수계수 이차형식
  • indefinite form의 분류
  • positive definite 이차형식의 분류는 매우 어려운 문제
  • 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
  • 정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 선형대수학
• 추상대수학
• p진해석학(p-adic analysis)
• p진 체

다루는 대상

• 이차형식

중요한 개념 및 정리

• 이차형식의 대각화
• 등방형식, 비등방형식
• Witt ring
• Brauer group
• local-global principle
• proper equivalence
• genus
• spinor genus

예

• 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능
• 다음의 행렬에 대응되는 유리계수 이차형식을 생각하자

$$ B=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 4 \end{array} \right) , \quad S=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 66 & 0 \\ 0 & 0 & 3201 \end{array} \right) $$

• 다음이 성립한다

$$ P^{T}BP=S $$ 여기서 $$ P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 17 \\ 0 & 0 & 33 \\ 0 & 2 & -13 \end{array} \right). $$

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 실계수 이차형식의 분류
  • 대칭행렬의 대각화 항목 참조
  • 실베스터의 inertia 정리
• Hermite, Minkowski 바운드
• 유리계수 이차형식의 분류

역사

• Herrmann Minkowski (1864 - 1909)
• Helmut Hasse (1898 - 1979)
• Carl Ludwig Siegel (1896 - 1982)
• Ernst Witt (1911 - 1991)
• Martin Eichler (1912 - 1992)
• Martin Kneser (1928 - 2004)

다른 과목과의 관련성

• 이차곡선과 회전변환
• 다변수미적분학
• 선형대수학
• 초등정수론
• 코딩이론
• 고차형식

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• Kissing number and sphere packings
• ADE의 수학

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMUZVdjdtNVVpRTg/edit

수학용어번역

• signature - 대한수학회 수학용어집, 부호(차)수
• equivalent - 대한수학회 수학용어집, 동치(인), 등가(인)
• isotropic - 대한수학회 수학용어집, 등방성의

표준적인 교과서

• Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
  • 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
  • 나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.
• Sphere Packings, Lattices and Groups (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
  • John Horton Conway, Neil J. A. Sloane
  • 이 분야의 가장 표준적인 도서

추천도서 및 보조교재

• Symmetric bilinear forms (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete)
  • John Willard Milnor and Dale Husemoller

관련논문

• Anish Ghosh, Dubi Kelmer, A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms, arXiv:1606.02388 [math.NT], June 08 2016, http://arxiv.org/abs/1606.02388
• http://arxiv.org/abs/1511.03022

리뷰, 에세이, 강의노트

• Scharlau, Rudolf. "Martin Kneser's work on quadratic forms and algebraic groups." Contemporary Mathematics 493 (2009): 339.
  • 슬라이드
• On the Diagonalization of Quadratic Forms
  • T. Y. Lam, Mathematics Magazine, Vol. 72, No. 3 (Jun., 1999), pp. 231-235

메모

• Jean Bourgain, A quantitative Oppenheim Theorem for generic diagonal quadratic forms, arXiv:1604.02087[math.NT], April 07 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02087v1