더블감마함수와 반스(Barnes) G-함수

개요

더블 감마함수의 역수로 정의되는 함수
성질\[G(1)=1\]\[G(s+1) =\Gamma(s)G(s)\]
자연수 n에 대하여 다음이 성립한다\[G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!\]

점근급수

점근 급수(asymptotic series)

\[\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)\]

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 \(A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots\)

스털링 공식

special values

A는 Glaisher–Kinkelin 상수\[G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}\]\[G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}\] 또는 \(G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}\)

로그 삼각함수 적분과의 관계

\[\int_{0}^{t}\pi u \cot \pi u\,du=t\log {2\pi}+\log \frac{G(1-t)}{G(1+t)}\] \[\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}\]

역사

수학사 연표

메모

수학용어번역

hyperfactorial - 대한수학회 수학용어집
발음사전 http://www.forvo.com/search/Barnes

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q808463

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'barnes'}, {'LOWER': 'g'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]