# 더블감마함수와 반스(Barnes) G-함수

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## 개요

• 더블 감마함수의 역수로 정의되는 함수
• 성질$G(1)=1$$G(s+1) =\Gamma(s)G(s)$
• 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다$G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!$

## 점근급수

$\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)$

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 $$A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots$$

## special values

• A는 Glaisher–Kinkelin 상수$G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}$$G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}$ 또는 $$G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}$$

## 로그 삼각함수 적분과의 관계

$\int_{0}^{t}\pi u \cot \pi u\,du=t\log {2\pi}+\log \frac{G(1-t)}{G(1+t)}$ $\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}$

## 관련논문

• Multiple Gamma and Related Functions
• J. Choi, H. M. Srivastava, V.S. Adamchik , Applied Mathematics and Computation, 134 (2003), 515-533
• A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula
• Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
• Barnes, E. W. 2013. “The Genesis of the Double Gamma Functions.” Proceedings of the London Mathematical Society S1-31 (1): 358. doi:10.1112/plms/s1-31.1.358.

## 메타데이터

### Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'barnes'}, {'LOWER': 'g'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]