동차다항식(Homogeneous polynomial)

수학노트
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개요[편집]


[편집]

  • \(n=3\)이고 차수 \(d=4\)인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저

\[ \left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} \]


오일러 항등식[편집]

  • 차수가 \(d\)인 \(n\)변수 동차다항식 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f\]

  • 예를 들어 차수가 \(d\)인 3변수 동차다항식 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)\]


조화다항식[편집]

  • \(P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]\) 차수가 \(d\)인 동차다항식이 이루는 벡터공간
  • 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]


메모[편집]



관련된 항목들[편집]


매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]