동차다항식(Homogeneous polynomial)

수학노트
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개요


  • $n=3$이고 차수 $d=4$인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저

$$ \left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} $$ 


오일러 항등식

  • 차수가 $d$인 $n$변수 동차다항식 $f$에 대하여, 다음이 성립한다

\[\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f\]

  • 예를 들어 차수가 $d$인 3변수 동차다항식 $f$에 대하여, 다음이 성립한다

\[x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)\]

 

조화다항식

  • \(P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]\) 차수가 $d$인 동차다항식이 이루는 벡터공간
  • 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]


역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스