"두자연수가 서로소일 확률과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | + | ||
* 두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률 | * 두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률 | ||
| − | * 답은 리만제타함수의 | + | * 답은 리만제타함수의 값 <math>\zeta(2)</math> 와 관련있음. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | 두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 | + | 두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 <math>\frac{1}{p^2}</math>가 된다. |
따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉, | 따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉, | ||
| 30번째 줄: | 30번째 줄: | ||
<math>\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079271\cdots</math> 이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가? | <math>\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079271\cdots</math> 이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가? | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| 39번째 줄: | 39번째 줄: | ||
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==블로그== | ==블로그== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:13 기준 최신판
개요
- 두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때, 둘이 서로소일 확률
- 답은 리만제타함수의 값 \(\zeta(2)\) 와 관련있음.
두 자연수가 소수 p를 공약수로 가질 확률은 \(\frac{1}{p^2}\)가 된다.
따라서 두 자연수가 서로소일 확률은, 모든 소수 p에 대하여 p를 공약수로 갖지 않을 확률을 곱한 것이 된다. 즉,
\(\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\prod_{p\text{:prime}}1-p^{-2}\)
그런데 이 녀석, 지난 글에 등장한 공식과 좀 닮아있지 않은가?
\(\zeta(s)=\prod_{p\text{:prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}\)
이를 활용하면,
\(\prod_{p\text{:prime}}1-\frac{1}{p^2}=\frac{1}{\zeta(2)}\)
그래서 답이 나왔다.
두 자연수를 랜덤하게 뽑았을 때,둘이 서로소일 확률은
\(\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079271\cdots\) 이 문제 어디에 도대체 원이 숨어있단 말인가?
관련된 항목들
블로그
- 오늘의 퀴즈 : Farey series의 크기
- 피타고라스의 창, 2008-7-28