"드무아브르-라플라스 중심 극한 정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
209번째 줄: 209번째 줄:
  
 
 
 
 
 +
 +
 
 +
 +
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
 +
 +
이를 가지고 수능시험에도 낼 수 있는 수준의 문제를 들자면,
 +
 +
 
 +
 +
<blockquote style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 38px; background-image: ; background-color: rgb(239, 239, 239); background-position: 14px 4px;">
 +
동전을 100회 던질 때, 앞면이 45회 이상 55회 이하 나올 확률을 구하여라.
 +
</blockquote>
 +
 +
 
 +
 +
라고 물으면,
 +
 +
 
 +
 +
<blockquote style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 38px; background-image: ; background-color: rgb(239, 239, 239); background-position: 14px 4px;">
 +
[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/04/506 정규분포표]를 보고 0.7286이라고 대답하면 된다.
 +
</blockquote>
  
 
 
 
 

2009년 7월 5일 (일) 02:31 판

드무아브르의 중심극한정리

(정리) 드무아브르, 1730년대

확률변수 X가 이항분포 B(n,1/2)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(n/2,n/4)를 따른다

 

알기 쉬운 말로 표현하면, 동전을 여러번 던져서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 경우를 셀 때, 동전을 많이 던질 경우 이것이 대체로 정규분포곡선을 따르게 된다는 것이다.

 

 

증명

월리스 곱

\(<br/>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot = \frac{\pi}{2}.<br/>\)

 

[1]

 

지금 우리의 목표는 동전을 몇 번 던질때, 몇 번 나올 확률이 얼마인지에 대한 근사식을 찾아내는 것이다. 이렇게 일반적인 문제의 해결은 다음으로 미루고, 일단 다음과 같은 구체적인 문제를 먼저 해결하자.

 

(n이 충분히 클 때) 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 대략 \(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\) 로 주어진다.

 

 

동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다.

 

\(\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}\)

 

한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,

 

\(<br/>p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br/>\)

 

따라서

 

\(<br/>p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br/>\)

 

이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.

 

\(<br/>\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}<br/>\)

 

그리고 이는 다음을 말해준다.

 

\(<br/>\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}<br/>\)

 

 

 

동전을 2n번 던져서, 앞면이 n+k 번 나올 확률은 다음과 같이 주어진다.

 

\(<br/>{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1}<br/>\)

 

앞서 구한 것을 이용하고자 비율을 구할 것이다.

 

\(<br/>{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1} = \frac{n! n!}{(n+k)!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{(n+k)(n+k-1)\cdots (n+1)}= \frac{1 (1-1/n)\cdots(1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}<br/>\)

 

이제 우변의 근사값을 구하기 위해, 로그를 사용하는데, 이 과정에서 로그에 대해 알아야 할 것은 이전과 마찬가지로 두 가지. 하나는 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾼다. 그리고 또 하나는 x가 충분히 작을 때,

 

\(\ln (1+x) \approx x\)

 

라는 것이다.

 

우변에 로그를 취하게 되면,

 

\(\ln \frac{(1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}\)\(= \ln { (1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n})- \ln {(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)}\)

 

이 되고,

 

\( \ln {(1-1/n)\cdots(1-(k+1)/n)} \approx - (\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots +\frac{k-1}{n}) = - \frac{k(k-1)}{2n}\)

 

\(\ln {(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)} \approx (\frac{k}{n}+\frac{k-1}{n}+\cdots +\frac{1}{n} = \frac{k(k+1)}{2n}\)

 

따라서, 다시 지수함수를 취해주게 되면 다음과 같은 식이 얻어지게 된다.

 

\( \frac{1 (1-1/n)\cdots(1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n)\cdots (1+1/n)} \approx \frac{\exp(-\frac{k(k-1)}{2n})}{\exp(\frac{k(k+1)}{2n})} = \exp(-\frac{k^2}{n})\)

 

 

 지금까지 한 작업을 요약하자면,

 

\(<br/>{2n\choose n+k}{2n\choose n}^{-1} \approx \exp(-\frac{k^2}{n})<br/>\)

 

\(<br/>{2n\choose n+k} \approx {2n\choose n}\exp(-\frac{k^2}{n})<br/>\)

 

따라서 동전을 2n번 던져서 앞면이 n+k번 나올 확률이란,

 

\(\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{k^2}{n})\)

 

이 되는 것이다.


 

여기서 이제 n+k=x 로 두고, 2n번 던져서 x 번 나올 확률을 보게 되면 그 확률은 대략,

 

\( \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{(x-n)^2}{n})\)

 

이 된다. 그리고 B(2n,1/2)의 평균과 표준편차

 

\(\mu=n, \sigma^2=\frac{n}{2}\)

 

를 이용하여, 중심극한정리가 예측했던 바를 써보면,

 

\(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{\frac{n}{2}}\sqrt{2\pi} } \exp \left(-\frac{(x-n)^2}{2 \frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp(-\frac{(x-n)^2}{n})\)

 

 

상위 주제

 

 

 

하위페이지

 

 

재미있는 사실

 

 

메모

이를 가지고 수능시험에도 낼 수 있는 수준의 문제를 들자면,

 

동전을 100회 던질 때, 앞면이 45회 이상 55회 이하 나올 확률을 구하여라.

 

라고 물으면,

 

정규분포표를 보고 0.7286이라고 대답하면 된다.

 

역사

 

많이 나오는 질문과 답변

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

관련된 다른 주제들


 

관련도서 및 추천도서

 

참고할만한 자료

 

관련기사

 

 

블로그

 

이미지 검색

 

동영상
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=드무아브르-라플라스_중심_극한_정리&oldid=7287"