"디리클레 단위 정리와 수체의 regulator"의 두 판 사이의 차이
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* <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> | * <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> | ||
| − | * 군 | + | * 군 <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>은 유한생성아벨군으로 다음과 같이 쓸 수 있다 |
| − | + | :<math>\mathcal{O}_K^{\times}\cong \mu(\mathcal{O}_K^{\times})\times \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}</math> | |
| − | * 여기서 | + | * 여기서 <math>\mu(\mathcal{O}_K^{\times})</math>은 order가 유한인 원소들이 이루는 부분군 |
| − | * 군 | + | * 군 <math>\mathcal{O}_K^{\times}/\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\cong \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}</math>의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다 |
==regulator 사상== | ==regulator 사상== | ||
| − | * 로그 함수를 이용하여 | + | * 로그 함수를 이용하여 <math>\mathcal{O}_K^{\times} \to \mathbb{R}^{r_1+r_2}</math>로의 regulator 사상을 정의할 수 있다 |
| − | * 이 사상의 치역은 | + | * 이 사상의 치역은 <math>\mathbb{R}^{r_1+r_2}</math>에서 <math>\mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}</math>와 동형인 격자를 이루게 된다 |
| − | * 이 격자로 | + | * 이 격자로 <math>\mathbb{R}^{r_1+r_2-1}</math>을 나눠 얻어지는 공간의 부피를 수체의 regulator라 한다 |
| − | * 이 수를 | + | * 이 수를 <math>R_K</math>로 쓰며, 이는 [[디리클레 유수 (class number) 공식]]에 등장한다 |
:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math> | :<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math> | ||
| − | 여기서 <math>h_K</math> 는 유수, <math>w_K</math>는 <math>\mu(\mathcal{O}_K^{\times})</math>의 크기, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), | + | 여기서 <math>h_K</math> 는 유수, <math>w_K</math>는 <math>\mu(\mathcal{O}_K^{\times})</math>의 크기, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식(discriminant), <math>R_K</math>는 regulator |
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* <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 기본 단위 (fundamental unit)이라 하며 [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]의 해를 구하면 얻어진다 | * <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>의 생성원 <math>\epsilon_K</math>을 기본 단위 (fundamental unit)이라 하며 [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]의 해를 구하면 얻어진다 | ||
| − | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | + | * [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] |
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실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | 실 이차 수체(real quadratic field) <math>K</math>에 대하여, 다음 등식이 성립한다. | ||
:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}</math> | :<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}</math> | ||
<math>h_K</math> 는 유수, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식, <math>\epsilon_K</math>은 기본 단위 ([[실 이차 수체의 유수와 기본 단위]] 항목 참조) | <math>h_K</math> 는 유수, <math>d_K</math>는 <math>K</math>의 판별식, <math>\epsilon_K</math>은 기본 단위 ([[실 이차 수체의 유수와 기본 단위]] 항목 참조) | ||
| − | * regulator | + | * regulator <math>R_K=\ln \epsilon_K</math>로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다 |
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* [[원분체 (cyclotomic field)]] | * [[원분체 (cyclotomic field)]] | ||
===예=== | ===예=== | ||
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* <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, <math>r_1=0, r_2=3</math>이므로, <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>의 rank는 2이다 | * <math>[K : \mathbb{Q}] =6</math>, <math>r_1=0, r_2=3</math>이므로, <math>\mathcal{O}_K^{\times}</math>의 rank는 2이다 | ||
* 기본 단위 <math>\epsilon_1=1+\theta</math>와 <math>\epsilon_2=1+\theta+\theta^2</math> | * 기본 단위 <math>\epsilon_1=1+\theta</math>와 <math>\epsilon_2=1+\theta+\theta^2</math> | ||
* regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬 | * regulator <math>R_{K}</math>는 2×3행렬 | ||
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| − | + | </math> 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다 | |
* <math>R_K\approx 2.10181872849\cdots</math> | * <math>R_K\approx 2.10181872849\cdots</math> | ||
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==higher regulator== | ==higher regulator== | ||
* [[데데킨트 제타함수]]에서 가져옴 | * [[데데킨트 제타함수]]에서 가져옴 | ||
| − | * 수체 | + | * 수체 <math>K</math>, <math>[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2</math> |
* 다음이 성립한다 | * 다음이 성립한다 | ||
| − | :<math>\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}</math> 여기서 <math>\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)</math> 는 Bloch group <math>B(K)\otimes \mathbb{Q}</math>의 | + | :<math>\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}</math> 여기서 <math>\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)</math> 는 Bloch group <math>B(K)\otimes \mathbb{Q}</math>의 <math>\mathbb{Q}</math>-기저, <math>D</math>는 [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)]] 함수 |
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==리뷰, 에세이, 강의노트== | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
* http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf | * http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf | ||
| − | + | * http://mathoverflow.net/questions/106196/definitive-source-about-dirichlet-finally-proving-the-unit-theorem-in-the-sistin | |
==관련논문== | ==관련논문== | ||
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[[분류:정수론]] | [[분류:정수론]] | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
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| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q29193 Q29193] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'johann'}, {'LOWER': 'peter'}, {'LOWER': 'gustav'}, {'LOWER': 'lejeune'}, {'LEMMA': 'Dirichlet'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'Dirichlet'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'peter'}, {'LOWER': 'gustav'}, {'LOWER': 'lejeune'}, {'LEMMA': 'Dirichlet'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:03 기준 최신판
개요
- 수체(number field) \(K\)의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)의 단위(unit)가 이루는 군 \(\mathcal{O}_K^{\times}\)에 대한 정리
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
- 군 \(\mathcal{O}_K^{\times}\)은 유한생성아벨군으로 다음과 같이 쓸 수 있다
\[\mathcal{O}_K^{\times}\cong \mu(\mathcal{O}_K^{\times})\times \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\]
- 여기서 \(\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\)은 order가 유한인 원소들이 이루는 부분군
- 군 \(\mathcal{O}_K^{\times}/\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\cong \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\)의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다
regulator 사상
- 로그 함수를 이용하여 \(\mathcal{O}_K^{\times} \to \mathbb{R}^{r_1+r_2}\)로의 regulator 사상을 정의할 수 있다
- 이 사상의 치역은 \(\mathbb{R}^{r_1+r_2}\)에서 \(\mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\)와 동형인 격자를 이루게 된다
- 이 격자로 \(\mathbb{R}^{r_1+r_2-1}\)을 나눠 얻어지는 공간의 부피를 수체의 regulator라 한다
- 이 수를 \(R_K\)로 쓰며, 이는 디리클레 유수 (class number) 공식에 등장한다
\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\] 여기서 \(h_K\) 는 유수, \(w_K\)는 \(\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\)의 크기, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(R_K\)는 regulator
- \(R_K\)는 기본 단위 \(\epsilon_1,\cdots, \epsilon_{r_1+r_2-1}\)을 이용하여 얻을 수 있다
실 이차수체의 경우
- \([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 rank는 1이다
- \(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 기본 단위 (fundamental unit)이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
- 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식
- 정리 (디리클레 유수 공식)
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}\]
\(h_K\) 는 유수, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식, \(\epsilon_K\)은 기본 단위 (실 이차 수체의 유수와 기본 단위 항목 참조)
- regulator \(R_K=\ln \epsilon_K\)로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다
\[ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|\right) \end{array} \right) \]
예
- \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})\)
- \(\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
- \(R_K\)는 다음 행렬의 \(1\times 1\) minor로부터 얻어진다
\[ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) & \log \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right) \end{array} \right) \]
- \(R_K=\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) =0.481211825\cdots\)
원분체
예
- \(K=\mathbb{Q}(\theta)\), \(\theta=e^{2\pi i/7}\)
- \([K : \mathbb{Q}] =6\), \(r_1=0, r_2=3\)이므로, \(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 rank는 2이다
- 기본 단위 \(\epsilon_1=1+\theta\)와 \(\epsilon_2=1+\theta+\theta^2\)
- regulator \(R_{K}\)는 2×3행렬
\[ \left( \begin{array}{ccc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) \\ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right) \] 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다
- \(R_K\approx 2.10181872849\cdots\)
higher regulator
- 데데킨트 제타함수에서 가져옴
- 수체 \(K\), \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
- 다음이 성립한다
\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 \(\mathbb{Q}\)-기저, \(D\)는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- unit - 대한수학회 수학용어집
- unit 단위, 단원
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
- http://mathoverflow.net/questions/106196/definitive-source-about-dirichlet-finally-proving-the-unit-theorem-in-the-sistin
관련논문
- Fieker, Claus, and Michael E. Pohst. 2008. “A Lower Regulator Bound for Number Fields.” Journal of Number Theory 128 (10): 2767–75. doi:10.1016/j.jnt.2008.04.005.
- Friedman, Eduardo. 1989. “Analytic Formulas for the Regulator of a Number Field.” Inventiones Mathematicae 98 (3): 599–622. doi:10.1007/BF01393839.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q29193
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'johann'}, {'LOWER': 'peter'}, {'LOWER': 'gustav'}, {'LOWER': 'lejeune'}, {'LEMMA': 'Dirichlet'}]
- [{'LEMMA': 'Dirichlet'}]
- [{'LOWER': 'peter'}, {'LOWER': 'gustav'}, {'LOWER': 'lejeune'}, {'LEMMA': 'Dirichlet'}]