디리클레 단위 정리와 수체의 regulator

개요

수체(number field) \(K\)의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)의 단위(unit)가 이루는 군 \(\mathcal{O}_K^{\times}\)에 대한 정리
\([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
군 \(\mathcal{O}_K^{\times}\)은 유한생성아벨군으로 다음과 같이 쓸 수 있다

\[\mathcal{O}_K^{\times}\cong \mu(\mathcal{O}_K^{\times})\times \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\]

여기서 \(\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\)은 order가 유한인 원소들이 이루는 부분군
군 \(\mathcal{O}_K^{\times}/\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\cong \mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\)의 생성원은 기본 단위 (fundamental unit)라 한다

regulator 사상

로그 함수를 이용하여 \(\mathcal{O}_K^{\times} \to \mathbb{R}^{r_1+r_2}\)로의 regulator 사상을 정의할 수 있다
이 사상의 치역은 \(\mathbb{R}^{r_1+r_2}\)에서 \(\mathbb{Z}^{r_1+r_2-1}\)와 동형인 격자를 이루게 된다
이 격자로 \(\mathbb{R}^{r_1+r_2-1}\)을 나눠 얻어지는 공간의 부피를 수체의 regulator라 한다
이 수를 \(R_K\)로 쓰며, 이는 디리클레 유수 (class number) 공식에 등장한다

\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\] 여기서 \(h_K\) 는 유수, \(w_K\)는 \(\mu(\mathcal{O}_K^{\times})\)의 크기, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(R_K\)는 regulator

\(R_K\)는 기본 단위 \(\epsilon_1,\cdots, \epsilon_{r_1+r_2-1}\)을 이용하여 얻을 수 있다

실 이차수체의 경우

\([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 rank는 1이다
\(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 기본 단위 (fundamental unit)이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식

정리 (디리클레 유수 공식)

실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{|d_K|}}\]

\(h_K\) 는 유수, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식, \(\epsilon_K\)은 기본 단위 (실 이차 수체의 유수와 기본 단위 항목 참조)

regulator \(R_K=\ln \epsilon_K\)로 주어지며 이는 다음 행렬의 minor이기도 하다

\[ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|\right) \end{array} \right) \]

예

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})\)
\(\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
\(R_K\)는 다음 행렬의 \(1\times 1\) minor로부터 얻어진다

\[ \left( \begin{array}{cc} \log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) & \log \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right) \end{array} \right) \]

\(R_K=\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right) =0.481211825\cdots\)

원분체

원분체 (cyclotomic field)

예

\(K=\mathbb{Q}(\theta)\), \(\theta=e^{2\pi i/7}\)
\([K : \mathbb{Q}] =6\), \(r_1=0, r_2=3\)이므로, \(\mathcal{O}_K^{\times}\)의 rank는 2이다
기본 단위 \(\epsilon_1=1+\theta\)와 \(\epsilon_2=1+\theta+\theta^2\)
regulator \(R_{K}\)는 2×3행렬

\[ \left( \begin{array}{ccc} \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _1\right)\right|{}^2\right) \\ \log \left(\left|\sigma _1\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _2\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) & \log \left(\left|\sigma _3\left(\epsilon _2\right)\right|{}^2\right) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right) \] 의 minor를 계산하여 얻을 수 있다

\(R_K\approx 2.10181872849\cdots\)

higher regulator

데데킨트 제타함수에서 가져옴
수체 \(K\), \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
다음이 성립한다

\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 \(\mathbb{Q}\)-기저, \(D\)는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수

역사

수학사 연표

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNEd0NlB6R0RsV1E/edit

수학용어번역

unit - 대한수학회 수학용어집
unit 단위, 단원

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

ID : Q29193