디리클레 단위 정리와 수체의 regulator
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개요
- 수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다
실 이차수체의 경우
- \([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 1이다
- \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 fundamental unit이라 하며 펠 방정식의 해를 구하면 얻어진다
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)
\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit (실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 참조)
원분체의 예
- 원분체 (cyclotomic field)
- \(K=\mathbb{Q}\left(\zeta _7\right)\)
- \([K : \mathbb{Q}] =6\), \(r_1=0, r_2=3\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 2이다
- fundamental units : \(1+\zeta _7\)와 \(1+\zeta _7+\zeta _7^2\)
- regulator \(R_{K}\)는 2×3행렬
\(\left( \begin{array}{ccc} \log \left(2 \left(1+\sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right)\right) & \log \left(2-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)\right) & \log \left(2-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \\ \log \left(3-2 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)\right) & \log \left(3-4 \sin \left(\frac{\pi }{14}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) & \log \left(3+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{14}\right)-4 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\right) \end{array} \right)\)
의 minor를 계산하여 얻을 수 있다 - \(R_K\approx 2.10182\cdots\)
higher regulator
- 데데킨트 제타함수에서 가져옴
\([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
\(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수
역사
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- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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