"디리클레 L-함수와 수학의 상수들"의 두 판 사이의 차이

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[[디리클레 베타함수]]
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[[디리클레 베타함수]]는 복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 연구에 중요한 역할을 하는 함수로,
  
 
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<math>\beta(s) =L_{-4}(s)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} =\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots </math>
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<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math>
  
 
* [[원주율(파이,π)]]<br><math>L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math><br>[[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]<br>  <br><math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math><br>
 
* [[원주율(파이,π)]]<br><math>L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math><br>[[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]<br>  <br><math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math><br>

2010년 4월 1일 (목) 17:46 판

디리클레 베타함수는 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 연구에 중요한 역할을 하는 함수로,

이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론

\(\beta(s) =L_{-4}(s)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} =\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \)

\(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)

  • 원주율(파이,π)
    \(L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\)
    라이프니츠 급수
     
    \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)
  • 카탈란 상수
    \(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
  • 오일러상수, 감마
    \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)
    \(L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)