라마누잔과 파이

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 3월 22일 (화) 21:19 판
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개요
  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 [RAM1914]
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • Chudnovsky 형제  [CHU88]

\(\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\)

 

 

정의와 미리 알아야 할 것들

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(K'(k) = K(k')\)

\(E'(k) = E(k')\)

  • 위의 함수들을 이용하여, 양수 \(r\)에 대하여 다음을 정의

\(\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})\)

\(\alpha(r):=\frac{E'}{K}-\frac{\pi}{4K^2}\)

 

 

singular value function 
  • 타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식
     \(E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\) (AGM과 파이값의 계산)
  • 타원적분의 성질 
    \(K'(\lambda^{*}(r))=\sqrt{r}K(\lambda^{*}(r))\)
  • 위의 둘을 사용하여 다음을 얻는다
    \(\alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2}-\sqrt{r}(\frac{E}{K}-1)\)
  • 여기에 타원적분이 만족시키는 미분방정식
    \(\frac{dK}{dk}=\frac{E-k'^2K}{kk'^2}\)
    을 사용하면
    \(\alpha(r)=\frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2K})^2-\sqrt{r}(kk'^2\frac{\.K}{K}-k^2)\)
    를 얻게 되고, 이를 다시 쓰면
    \(\frac{1}{\pi}=\sqrt{N}k_Nk'_N^2\frac{4K\.K}{\pi^2}+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]\frac{4K^2}{\pi^2}\)

 

  • \([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =m(k)F(y(k))\) 꼴로 쓰여질때, 양변을 미분하면 다음을 얻는다
    \(\frac{4K\.K}{\pi^2}=\frac{1}{2}\.mF+\frac{1}{2}m\.y\.F(y)\)
  • 초기하급수를 다음과 같이 쓰면
    \(F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n\)
  • \(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty a_n[\frac{\sqrt{N}}{2}k{k'}^2\.m+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]m+\frac{n\sqrt{N}}{2}m\frac{\.y}{y}kk'^2]y^n\)

 

 

라마누잔 파이 공식의 유도
  • 아래의 prop, thm 번호는 [BB1998] 참조
  • 초기하급수(Hypergeometric series) 항목의 Clausen 항등식이 중요하게 사용됨
  • prop 5.6
    \(\frac{2}{\pi}K_s(h) = \,_2F_1(\frac{1}{4}-\frac{s}{2},\frac{1}{4}+\frac{s}{2};1;(2hh')^2)\)
    \([\frac{2}{\pi}K_s(h)]^2 = \,_2F_1(\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s,\frac{1}{2};1,1;(2hh')^2)\)
  • prop 5.7
    \(K_{1/4}(h)=(1+k^2)^{1/2}K(k)\) if \(2hh'=[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}]^{-1}\)
  • Thm 5.6
    \(\frac{2}{\pi}K(k) =(1+k^2)^{-1/2} \,_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
  • Thm 5.7
    \([\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =(1+k^2)^{-1} \,_3F_2(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2};1,1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})\)
  • (5.5.16)
    \(\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{4})_n(\frac{1}{2})_n(\frac{3}{4})_n}{(n!)^3}d_n(N)x_N^{2n+1}\)
    \(x_N=(\frac{g_N^{12}+g_N^{-12}}{2})^{-1}\)
    \(d_n(N)=[\frac{\alpha(N)x_N^{-1}}{1+k_N^2}-\frac{\sqrt{N}}{4}g_N^{-12}]+n\sqrt N(\frac{g_N^{12}-g_N^{-12}}{2})\)

 

  • \(N=58\) 일 때
    \(x_{58}=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}\), \(d_n(58)=(1103+26390n)2\sqrt 2\) 이므로 다음을 얻는다
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
     

 

 

라마누잔의 class invariants

 

 

재미있는 사실
  • \(e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots\)
  •  \(\frac{6}{5}{\phi}^2\approx{\pi}\)

 


역사
  • Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula
\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \(\pi\).

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

관련된 항목들

 

 

http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/06/01/02/0001/

 

관련도서

 

 

사전 형태의 자료

 

 

 

참고할만한 자료

[1]

 

 

관련기사

 

 

블로그
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