락스 쌍 (Lax pair)

수학노트
이동: 둘러보기, 검색

개요

  • 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
  • spectral parameter

 

 

기호

  • 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
  • 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
  • \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
  • 해밀토니안 \(H(q,p)\)
  • 운동방정식\[\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\]

 

 

락스 쌍

  • 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
  • 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
  • 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다\[\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\]
  • 많은 보존량을  \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다\[\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\]
    따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다

 

 

isospectral deformation

  • L is an isospectral deformation of L(0) if  L(t) has the same eigenvalues for all t
  • \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
  • Record their derivative by a matrix\[v'(t)=B(t)v(t)\]
  • Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)\[L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\]\[L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\]\[L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\]\[L'(t)=[B(t),L(t)]\]
  • So B(t) and L(t) are a Lax pair

 

 

예: 토다 격자 (toda lattice)

 

 

 

 

예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)

  • 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
    • \(L=\partial^2+u\)
    • \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
  • \(\dot{L}=[L,B]\) 가 성립할 조건은 \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\) 와 동치이다
  • 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다

 

 

 

예 : 사인-고든 방정식

  • 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자\[U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)\], \(V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)\)
  • 두 미분연산자 \(L=4i \partial_{x} + U\)와 \(M=V\) 가 락스 쌍이 되려면, \(u_x=0\) 이거나 \(\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)\) 
  • 사인-고든 방정식

 

 

Lax pairs with spectral parameters

  • spectral curve\[\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\]
  • 대수 곡선이 된다
  • 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
  • for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
  • integrals of motion\[\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \]

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 


 

사전 형태의 자료


 

관련논문