랜덤워크(random walk)

수학노트
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개요

  • 도박사의 파산(gambler's ruin)
  • 브라운 운동



도박사의 파산

정리

A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때, \[P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\] \[P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\] (ii) \(p= \frac{1}{2}\)일 때, \[P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}\] \[P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}\]

(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.

점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).

선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다. \[P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}\] 를 얻는다.

(ii) \(p= \frac{1}{2}\) 인 경우, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하면, \(\alpha = 1\), \(\beta =-\frac{1}{N}\)를 얻는다.

\(P_n= 1-\frac{n}{N}\) 를 얻는다. ■


응용

  • A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
  • A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.




동전던지기

  • 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
  • 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
  • nearest-neighbor random walk
  • 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
  • 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동





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