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==개요==
  
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*  도박사의 파산(gambler's ruin)
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*  브라운 운동
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==도박사의 파산==
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* [http://math.ucsd.edu/%7Eanistat/gamblers_ruin.html http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html]
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin]
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*  일정한 총량의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임
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*  일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복
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;정리
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A,B가 각각 <math>n_1,n_2</math>만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.
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(i) <math>p\neq \frac{1}{2}</math> 일 때,
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A,B가 가진돈을 합하여 <math>N=n_1+n_2</math>, 상수이다.
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A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, '''파산할 확률'''을 <math>P_n</math>이라 두자.
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(i) <math>p\neq \frac{1}{2}</math> 인 경우는, 적당한 상수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n</math> 의 꼴로 쓸 수 있다.
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<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math> 을 이용하면, <math>\alpha = 1</math>, <math>\beta =-\frac{1}{N}</math>를 얻는다.
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<math>P_n= 1-\frac{n}{N}</math> 를 얻는다.  ■
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===응용===
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*  A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
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*  A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.
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==동전던지기==
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*  앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
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*  원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
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*  nearest-neighbor random walk
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*  앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
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*  뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동
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==메모==
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* http://www.jstor.org/stable/2304386
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==관련된 항목들==
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* [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]]
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* [[생성함수]]
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* [[이항급수와 이항정리]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_flipping
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Bovet, Alexandre. “An Introduction to Non-Diffusive Transport Models.” arXiv:1508.01879 [cond-Mat], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01879.
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q660446 Q660446]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'gambler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'ruin'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:04 기준 최신판

개요

  • 도박사의 파산(gambler's ruin)
  • 브라운 운동



도박사의 파산

정리

A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때, \[P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\] \[P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\] (ii) \(p= \frac{1}{2}\)일 때, \[P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}\] \[P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}\]

(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.

점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).

선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다. \[P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}\] 를 얻는다.

(ii) \(p= \frac{1}{2}\) 인 경우, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하면, \(\alpha = 1\), \(\beta =-\frac{1}{N}\)를 얻는다.

\(P_n= 1-\frac{n}{N}\) 를 얻는다. ■


응용

  • A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
  • A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.




동전던지기

  • 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
  • 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
  • nearest-neighbor random walk
  • 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
  • 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동





메모



관련된 항목들



사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'gambler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'ruin'}]
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