랜덤워크(random walk)

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• 랜덤워크(random walk)
  

 

 

 

개요

• 도박사의 파산(gambler's ruin)
  
• 브라운 운동
  

 

 

도박사의 파산

• http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html
  
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin
  
• 일정한 총량의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임
  
• 일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복
  

 

 

(정리) 

A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서'A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p'라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.

\(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때, 

\(P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)

\(P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)

 

\(p= \frac{1}{2}\)일 때, 

\(P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}\)

\(P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}\)

 

 

(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자. 

점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).

선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다. 

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다.

\(P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}\) 를 얻는다. 

(ii) \(p= \frac{1}{2}\) 인 경우, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하면, \(\alpha = 1\), \(\beta =-\frac{1}{N}\)를 얻는다.

\(P_n= 1-\frac{n}{N}\) 를 얻는다.  ■

 

 

응용

• A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자. 
  
• A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다. 
  

 

 

 

동전던지기

• 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전   
  
• 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
  
• nearest-neighbor random walk
  
• 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
  
• 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동
  

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

메모

• http://www.jstor.org/stable/2304386
  
•  
  

 

 

관련된 항목들

• 드무아브르-라플라스 중심극한정리
  
• 생성함수
  
• 이항급수와 이항정리
  

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_flipping
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=gambler+ruin
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

 

 

 

 

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