렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분

개요

• 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
• 카테시안 좌표계에서는 \((x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2\)로 주어진다

렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분

정리

렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 \(L\)은 타원적분으로 표현되며 다음이 성립한다 \[L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots\] 여기서 $K$는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) $$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.$$ 또한 다음이 성립한다 \[L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}\] 여기서 $B$는 오일러 베타적분(베타함수)이고, $\Gamma$는 감마함수

증명

렘니스케이트 곡선은 \(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다 $$ r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)} $$ 매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다 \[L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\] 이 때, \(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\) 를 이용하여 치환하면, \[d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi,\] \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}\] \ref{eq1}로부터 다음을 얻는다 $$ L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2}) $$ \ref{eq1}에서 \(x=\cos\phi\)로 치환하면, \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\] ■

가우스의 렘니스케이트 상수

• 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의

\[\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots\]

• 수론적 성질에 대해서는 가우스의 렘니스케이트 상수 항목 참조

재미있는 사실

• 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
• 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그 때문에 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음

역사

• http://www.gormagon.org/2005/04/17/the-lemniscate-infinity-symbol/
• 1684 베르누이 'Acta Eruditorum'
• 18세기 파그나노, 오일러, 르장드르의 타원적분 연구
• 1798~1799년 가우스가 $\pi/\omega$가 1과 $\sqrt2$의 산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)이 됨을 관찰
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산
• 타원곡선의 주기
• Chowla-셀베르그 공식
• 무리수와 초월수
• 아이젠슈타인 기약다항식 판정법

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate
• Latin lemniscus meaning "ribbon"
• 번역용어제안
  • 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본
  • '베르누이의 연주형'(lemniscate) http://www.google.com/dictionary?langpair=ko|ko&q=연주
• lemniscate - 대한수학회 수학용어집

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트
• http://en.wikipedia.org/wiki/lemniscate
• http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_constant

관련도서

• Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
  • M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.

리뷰, 에세이, 강의노트

• From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics R Sridharan
• From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work R Sridharan
• The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic IntegralsRaymond Ayoub, Archive for History of Exact Sciences, 1984