"렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
  
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* 극좌표계에서 방정식 <math>r^2=\cos2\theta</math> 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
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* 카테시안 좌표계에서는 <math>(x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2</math>로 주어진다
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==렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분==
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렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 <math>L</math>은 [[타원적분]]으로 표현되며 다음이 성립한다
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:<math>L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots</math>
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여기서 $K$는 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
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$$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.$$
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또한 다음이 성립한다
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:<math>L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}</math>
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여기서 $B$는 [[오일러 베타적분(베타함수)]]이고, $\Gamma$는 [[감마함수]]
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렘니스케이트 곡선은 <math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math>로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다
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r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}
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매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다
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:<math>L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math>
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이 때, <math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math> 를 이용하여 치환하면,
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:<math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi,</math>
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:<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}</math>
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\ref{eq1}로부터 다음을 얻는다
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L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})
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\ref{eq1}에서 <math>x=\cos\phi</math>로 치환하면,
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:<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441</math>
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==가우스의 렘니스케이트 상수==
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* 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의
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:<math>\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots</math>
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* 수론적 성질에 대해서는 [[가우스의 렘니스케이트 상수]] 항목 참조
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==재미있는 사실==
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* 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
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* 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그 때문에 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음
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[[파일:렘니스케이트 반지.png|300px]]
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==역사==
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* http://www.gormagon.org/2005/04/17/the-lemniscate-infinity-symbol/
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* 1684  베르누이 'Acta Eruditorum'
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* 18세기 파그나노, 오일러, 르장드르의 타원적분 연구
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* 1798~1799년 가우스가 $\pi/\omega$가 1과 $\sqrt2$의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]이 됨을 관찰
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
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* [[타원곡선의 주기]]
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* [[Chowla-셀베르그 공식]]
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* [[무리수와 초월수]]
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* [[아이젠슈타인 기약다항식 판정법]]
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==수학용어번역==
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* [http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=lemniscate http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate]
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* Latin lemniscus meaning "ribbon"
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* 번역용어제안
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** 쌍타원, 겹타원, 이중타원, 나비리본
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** '베르누이의 연주형'(lemniscate) [http://www.google.com/dictionary?langpair=ko%7Cko&q=%EC%97%B0%EC%A3%BC http://www.google.com/dictionary?langpair=ko|ko&q=연주]
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* {{수학용어집|url=lemniscate}}
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/렘니스케이트
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* http://en.wikipedia.org/wiki/lemniscate
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_constant
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==관련도서==
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*  Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
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** M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://www.ias.ac.in/resonance/Apr2004/Apr2004p21-29.htm From Lintearia to Lemniscate I : physics to mathematics] R Sridharan
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* [http://www.ias.ac.in/resonance/June2004/June2004p11-20.html From Lintearia to Lemniscate II: Gauss and Landen’s Work] R Sridharan
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* [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals]Raymond Ayoub, Archive for History of Exact Sciences, 1984
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[[분류:곡선]]
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[[분류:타원적분]]

2015년 4월 5일 (일) 05:10 기준 최신판

개요[편집]

렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분1.png

  • 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
  • 카테시안 좌표계에서는 \((x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2\)로 주어진다


렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분[편집]

정리

렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 \(L\)은 타원적분으로 표현되며 다음이 성립한다 \[L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots\] 여기서 $K$는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) $$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.$$ 또한 다음이 성립한다 \[L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}\] 여기서 $B$는 오일러 베타적분(베타함수)이고, $\Gamma$는 감마함수

증명

렘니스케이트 곡선은 \(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다 $$ r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)} $$ 매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다 \[L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\] 이 때, \(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\) 를 이용하여 치환하면, \[d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi,\] \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}\] \ref{eq1}로부터 다음을 얻는다 $$ L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2}) $$ \ref{eq1}에서 \(x=\cos\phi\)로 치환하면, \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\] ■


가우스의 렘니스케이트 상수[편집]

  • 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의

\[\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots\]


재미있는 사실[편집]

  • 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
  • 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그 때문에 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음

렘니스케이트 반지.png

역사[편집]

관련된 항목들[편집]


수학용어번역[편집]


매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]


사전 형태의 자료[편집]


관련도서[편집]

  • Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
    • M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.


리뷰, 에세이, 강의노트[편집]